定義

形如 的函式,叫做SP函式。
函式解析式
SP函式共有三種形式的解析式。
(1)一般式


a:控制開口大小;
b:控制函式的上下移動;
c:控制函式與坐標軸的距離。
實質:由一般式可以看出,SP函式可看做一次函式和反比例函式的結合。
(2)方程式

將SP函式 的兩邊同時乘以x,再通過移項得到:

通過此形式,可以看出SP函式與一元二次方程有一定的必然聯繫。
(3)關係式

將SP函式 的兩邊同時除以x,再通過移項得到:

通過此形式,可以看出SP函式與二次函式有一定的必然聯繫。
性質
(1)a,c 同號,有端點

由圖像看出,此類型的SP函式既有反比例函式的雙曲線性質,又有類似於二次函式的圖像特徵。
性質1:圖像與y軸在實數範圍內無交點;
性質2:兩曲線關於(0,b)對稱;
性質3:當a,c分別互為相反數,b相等時,兩函式圖像關於y軸和直線y=b對稱;
性質4:圖像有端點。
(2)a,c 異號:無端點

由圖像看出,此類型SP函式沒有類似二次函式的圖像性質,但仍然有類似反比例函式的雙曲線性。
性質1:在實數範圍內,圖像與 y 軸無交點。
性質2:當 a,c 分別互為相反數,b相等時,兩函式圖像關於 y 軸和直線 y=b 對稱。
性質3:圖像無端點。
SP函式和對勾函式

當b=0時,SP函式為,即為高中數學中的對勾函式 。此函式又名雙勾函式。
圖像端點和最值的研究
由圖像可知,當 a,c 同號時,SP函式的圖像有端點。那么,端點對應的函式值(即該支函式的最值)與 a,b,c 之間有什麼關係呢?
(1)y=ax+c/x
由於函式圖像的兩支關於原點中心對稱,因此首先以第一象限為研究對象。

∵ ,



∴令 , 。則 在同一平面直角坐標系中作出函式 y1,y2 的圖像,如圖所示。兩函式在第一象限內交於一點P。


聯立 y1, y2 得方程組,計算得: 。

作直線 與 y2 相切於P。


∴將P 代入得

聯立 y2 ,y3 。計算得:
∵ y2與 y3相切,


∴令 ,即 。




整理得: , , , 。

∴直線 y1, y3 關於直線 對稱。


∴在y軸的右側(x>0),不論x取任何值,y1 +y3 恆等於2 ,即 。

又由圖可知在 y 軸右側, 當 x ≠ 時,y2始終在直線 y3的上方,y2 > y3 ,


∴當 時, ,





∴當 時, + 有最小值,即 。


∴在第一象限內,當 時,y有最小值, 。


同理,在第三象限內,當 時有最大值, 。推理過程和第一象限的基本相同。
y=ax+c/x:總結(如右圖)
(2)y=ax+b+c/x
由於函式圖像的兩支關於(0,b)中心對稱,因此首先以y軸右側的一支為研究對象。

∵ ,




∴令 , 。則 在同一平面直角坐標系中作出函式y1 ,y2 的圖像,如圖所示。兩函式在第一象限內交於一點P。




過點P作 ,直線 y3與曲線 交於P, Q兩點,則直線y1 ,y3 關於直線 , 對稱。



∴不論x取任何值, + 恆等於2 。




∵ (1)在 0<x< 和 的範圍內, 在直線 的上方,此時y2>y3, y1+y2>y1+y3;




(2)在 <x< 的範圍內, 在直線 的下方,此時y2‘<y3, y1+y2’<y1+y3,


∴y1+y2'<y1+y3<y1+y2,即y1+y2的最小值的橫坐標在 <x< 的範圍內。


作直線 與 相切於M。

聯立 y2,y4,解得: 。









令 ,即 ,整理得 , 。將 代入 中: , ,即 。



將 代入 中: ;



再代入 或 中: 。





∴當 時, + 有最小值,即 。



∴在y軸右側,當 時, 有最小值, 。



同理,在y軸左側,當 時有最大值, 有最大值, 。推理過程和在y軸右側的基本相同。
y=ax+b+c/x:總結(如右圖)
SP函式的擴展研究
(1)概述

SP函式具有強大的擴展功能,可以在原有的 的基礎上添加更高或更低次項。
(2)添加二次項:y=ax^2+bx+c+d/x
添加二次項後的SP函式為:

(2)添加負二次項:y=ax+b+c/x+d/(x^2)
添加負二次項後的SP函式為:

此函式的圖像形似基本SP函式有端點及無端點的兩個圖像的結合。此函式圖像的兩支中,只有一支存在端點,即有最值。該形式SP函式的其他性質與基本SP函式對應性質基本類似。

是SP函式負二次項擴展的最簡單形式,其實質是一次函式 y=ax(a≠0) 與二次函式 y=x^2(x≠0)的反函式 y=k/(x^2) 的結合。
SP函式的基本研究已經基本完成,而對於它的擴展研究才剛剛起步。希望“有識之士”能幫助我們修正基本研究中難免存在的問題或缺陷,並不斷完善函式的擴展內容,共同傳承與弘揚“特殊”的精神!
Sp函式、Sp方程與其他數學概念的關係
Sp函式與Sp方程的關係

Sp方程是一元二次方程與分式方程的結合,一般式為。當Sp函式中y=0時,即為Sp方程的一般形式。Sp方程的解即為Sp函式與x軸的交點。一般的,當a、c同號,b=0時,所對應的Sp方程一般無解。當a、c異號,所對應的Sp方程有兩個不相同的解。
Sp方程與一元二次方程的關係


將Sp方程兩邊乘以x化為ax +bx+c=0(x≠0)即可發現,Sp方程求根公式仍為。即可得到Sp方程與一元二次方程有必然聯繫。Sp方程的解即為對應一元二次方程的解。