SP函式

SP函式

SP函式,全名Special函式,又名VGM函式,164函式。它是國中函式中一次函式、反比例函式和二次函式的過渡產物。 基本SP函式 y=ax+b+c/x ,自變數 x 的冪跨度為三次(1次至-1次),是一次函式、反比例函式的結合,但它在解析式和圖像等方面與二次函式有密切的聯繫。 擴展SP函式 y=ax^2+bx+c+d/x 或 y=ax+b+c/x+d/(x^2),自變數 x 的冪跨度為四次(2次至-1次,或1次至-2次)甚至更多,是一次函式、反比例函式與二次函式(及其反函式)等的結合。 本百科中,“擴展研究”之前的所有內容均為基本SP函式的研究。

定義

SP函式 SP函式

形如 的函式,叫做SP函式。

函式解析式

SP函式共有三種形式的解析式。

(1)一般式

a, b, c 對SP函式的影響 a, b, c 對SP函式的影響
SP函式 SP函式

a:控制開口大小;

b:控制函式的上下移動;

c:控制函式與坐標軸的距離。

實質:由一般式可以看出,SP函式可看做一次函式和反比例函式的結合。

(2)方程式

SP函式 SP函式

將SP函式 的兩邊同時乘以x,再通過移項得到:

SP函式 SP函式

通過此形式,可以看出SP函式與一元二次方程有一定的必然聯繫。

(3)關係式

SP函式 SP函式

將SP函式 的兩邊同時除以x,再通過移項得到:

SP函式 SP函式

通過此形式,可以看出SP函式與二次函式有一定的必然聯繫。

性質

(1)a,c 同號,有端點

a,c同號的SP函式圖像 a,c同號的SP函式圖像

由圖像看出,此類型的SP函式既有反比例函式的雙曲線性質,又有類似於二次函式的圖像特徵。

性質1:圖像與y軸在實數範圍內無交點;

性質2:兩曲線關於(0,b)對稱;

性質3:當a,c分別互為相反數,b相等時,兩函式圖像關於y軸和直線y=b對稱;

性質4:圖像有端點。

(2)a,c 異號:無端點

a,c異號的SP函式圖像 a,c異號的SP函式圖像

由圖像看出,此類型SP函式沒有類似二次函式的圖像性質,但仍然有類似反比例函式的雙曲線性。

性質1:在實數範圍內,圖像與 y 軸無交點。

性質2:當 a,c 分別互為相反數,b相等時,兩函式圖像關於 y 軸和直線 y=b 對稱。

性質3:圖像無端點。

SP函式和對勾函式

SP函式 SP函式

當b=0時,SP函式為,即為高中數學中的對勾函式 。此函式又名雙勾函式。

圖像端點和最值的研究

由圖像可知,當 a,c 同號時,SP函式的圖像有端點。那么,端點對應的函式值(即該支函式的最值)與 a,b,c 之間有什麼關係呢?

(1)y=ax+c/x

由於函式圖像的兩支關於原點中心對稱,因此首先以第一象限為研究對象。

SP函式 SP函式

∵ ,

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

∴令 , 。則 在同一平面直角坐標系中作出函式 y1,y2 的圖像,如圖所示。兩函式在第一象限內交於一點P。

y=ax+c/x 的端點與最值研究 y=ax+c/x 的端點與最值研究
SP函式 SP函式

聯立 y1, y2 得方程組,計算得: 。

SP函式 SP函式

作直線 與 y2 相切於P。

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

∴將P 代入得

SP函式 SP函式

聯立 y2 ,y3 。計算得:

∵ y2與 y3相切,

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

∴令 ,即 。

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

整理得: , , , 。

SP函式 SP函式

∴直線 y1, y3 關於直線 對稱。

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

∴在y軸的右側(x>0),不論x取任何值,y1 +y3 恆等於2 ,即 。

SP函式 SP函式

又由圖可知在 y 軸右側, 當 x ≠ 時,y2始終在直線 y3的上方,y2 > y3 ,

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

∴當 時, ,

y=ax+c/x:總結 y=ax+c/x:總結
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

∴當 時, + 有最小值,即 。

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

∴在第一象限內,當 時,y有最小值, 。

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

同理,在第三象限內,當 時有最大值, 。推理過程和第一象限的基本相同。

y=ax+c/x:總結(如右圖)

(2)y=ax+b+c/x

由於函式圖像的兩支關於(0,b)中心對稱,因此首先以y軸右側的一支為研究對象。

SP函式 SP函式

∵ ,

y=ax+b+c/x 的端點與最值研究 y=ax+b+c/x 的端點與最值研究
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

∴令 , 。則 在同一平面直角坐標系中作出函式y1 ,y2 的圖像,如圖所示。兩函式在第一象限內交於一點P。

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

過點P作 ,直線 y3與曲線 交於P, Q兩點,則直線y1 ,y3 關於直線 , 對稱。

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

∴不論x取任何值, + 恆等於2 。

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

(1)在 0<x< 和 的範圍內, 在直線 的上方,此時y2>y3, y1+y2>y1+y3;

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

(2)在 <x< 的範圍內, 在直線 的下方,此時y2‘<y3, y1+y2’<y1+y3,

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

∴y1+y2'<y1+y3<y1+y2,即y1+y2的最小值的橫坐標在 <x< 的範圍內。

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

作直線 與 相切於M。

SP函式 SP函式

聯立 y2,y4,解得: 。

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

令 ,即 ,整理得 , 。將 代入 中: , ,即 。

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

將 代入 中: ;

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

再代入 或 中: 。

y=ax++b+c/x:總結 y=ax++b+c/x:總結
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

∴當 時, + 有最小值,即 。

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

∴在y軸右側,當 時, 有最小值, 。

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

同理,在y軸左側,當 時有最大值, 有最大值, 。推理過程和在y軸右側的基本相同。

y=ax+b+c/x:總結(如右圖)

SP函式的擴展研究

(1)概述

SP函式 SP函式

SP函式具有強大的擴展功能,可以在原有的 的基礎上添加更高或更低次項。

(2)添加二次項:y=ax^2+bx+c+d/x

添加二次項後的SP函式為:

SP函式 SP函式

(2)添加負二次項:y=ax+b+c/x+d/(x^2)

添加負二次項後的SP函式為:

SP函式 SP函式

此函式的圖像形似基本SP函式有端點及無端點的兩個圖像的結合。此函式圖像的兩支中,只有一支存在端點,即有最值。該形式SP函式的其他性質與基本SP函式對應性質基本類似。

SP函式 SP函式

是SP函式負二次項擴展的最簡單形式,其實質是一次函式 y=ax(a≠0) 與二次函式 y=x^2(x≠0)的反函式 y=k/(x^2) 的結合。

SP函式的基本研究已經基本完成,而對於它的擴展研究才剛剛起步。希望“有識之士”能幫助我們修正基本研究中難免存在的問題或缺陷,並不斷完善函式的擴展內容,共同傳承與弘揚“特殊”的精神!

Sp函式、Sp方程與其他數學概念的關係

Sp函式與Sp方程的關係

SP函式 SP函式

Sp方程是一元二次方程與分式方程的結合,一般式為。當Sp函式中y=0時,即為Sp方程的一般形式。Sp方程的解即為Sp函式與x軸的交點。一般的,當a、c同號,b=0時,所對應的Sp方程一般無解。當a、c異號,所對應的Sp方程有兩個不相同的解。

Sp方程與一元二次方程的關係

SP函式 SP函式
SP函式 SP函式

將Sp方程兩邊乘以x化為ax +bx+c=0(x≠0)即可發現,Sp方程求根公式仍為。即可得到Sp方程與一元二次方程有必然聯繫。Sp方程的解即為對應一元二次方程的解。

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