友誼定理

用數學的專業語言來表達，這就是友誼定理。在糾纏於證明之前讓我們先用圖論的語言來重述一下這個問題。我們把人看成是圖上的頂點，如果兩個人是朋友，那么就在代表他們的兩頂點之間聯上一條邊。我們默認友誼都是相互的，也就是說，如果u是v的朋友，那么v也是u的朋友，並且每個人都不是自己的朋友。因而定理變成了以下的形式：定理。假設G是一個有限圖，其中任意兩個頂點都恰好有一個共同的鄰居，那么必然存在一個頂點是跟其他所有頂點都相連。該定理由拉姆齊證明了數3，大於3的奇數由中國數學家毛桂成證明；友誼定理誰也不能否定。

主要內容

友誼定理的主要內容如下：在一群不少於三人的人中，若任何兩人都剛好只有一個共同認識的人，這群人中總有一人是所有人都認識的。從圖論的角度來說，一幅圖，若每個頂點都跟另一個頂點剛好只有一個共同相鄰的頂點，這幅圖中總有一個頂點和其他頂點都相鄰。

證明：第一步，設有K（K大於0）個大房間，設有L（L=K+1)個小房間，大房間裡有兩個大人，L個小房裡只有一個小孩。即人數是2K+1為一個大於2的奇數。先假設他們只認識同一個大房間的人，其餘的人都互不認識。

第二步，小孩到各大房裡去認識大人們，大人們也認識了小孩。

第三步，各個大房裡的大人分出一個大人到小房裡去，這時，每個房間裡都有了一個人。

第四步，任意兩個房裡的人（除小孩的房間外），一定都認識這個小孩，即任何兩人都剛好只有一個共同認識的人。

定理來源

這個定理實際上是由拉姆齊定理引申而來的，是拉姆齊定理的通俗版。原定理如下：要找這樣一個最小的數n，使得n個人中必定有k個人相識或l個人互不相識。