利薩茹曲線

利薩茹曲線，是兩個沿著互相垂直方向的正弦振動的合成的軌跡。

定義

數學上，利薩茹(Lissajous)曲線（又稱利薩茹圖形或鮑迪奇(Bowditch)曲線）是兩個沿著互相垂直方向的正弦振動的合成的軌跡。
利薩茹曲線由以下參數方程定義：
x=Asint
y=bsin(nt+φ)
其中，0≤φ≤π/2，n≥1。
n稱為曲線的參數，是兩個正弦振動的頻率比。若比例為有理數，則n=p/q，參數方程可以寫作:
x=asin(pt)
y=bcos(qt+φ)
0≤t≤2π，
其中0≤φ≤π/2p。

性質

若n為無理數，曲線在長方形[-a,a]X[-b,b]中稠密。
若n為有理數， n=p/q
曲線是2q次代數曲線若φ∈(0,π/2p]對奇數p，或φ∈[0,π/2p)對偶數p。
曲線是q次代數曲線的一部份若φ=0對奇數p，或φ=π/2p對偶數p。
若n為偶數而，或若n為奇數而，則曲線是第n個切比雪夫多項式Tn的曲線的一部份。

歷史

納撒尼爾·鮑迪奇在1815年首先研究這一族曲線，朱爾·利薩茹在1857年作更詳細研究。
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