誕生
數學家曼德布勞特(B.B.Mandelbrot)經歷了不平凡的潛心研究，於1975年出版了他的關於分形幾何的專著《分形、機遇和維數》，標誌著分形理論的誕生。
簡介
數學家研究分形，是力圖以數學方法，模擬自然界存在的、及科學研究中出現的那些看似無規律的各種現象。在過去的幾十年里，分形在物理學、材料科學、地質勘探、乃至股價的預測等方面都得到了廣泛的套用或密切的注意，並且由於分形的引入，使得一些學科煥發了新的活力。數學上所說的分形，是抽象的。而人們認為是分形的那些自然界的具體對象，並不是數學家所說的分形，而是不同層次近似。
1985年，曼德布勞特獲得Barnard獎章。這項獎勵專門頒發給那些在物理科學或者其它自然科學中有重大貢獻、有重大影響的人物。在每五年一次的獲獎者名單中，有愛因斯坦、費米這樣一批享譽世界的科學家,可見曼德布勞特的分形研究在科學上的地位和影響。1995年應中國科學界的邀請，曼德布勞特訪問中國並進行演講。分形圖形同常見的工程圖迥然不同，分形圖形一般都有自相似性，這就是說如果將分形圖形的局部不斷放大並進行觀察，將發現精細的結構，如果再放大，就會再度出現更精細的結構，可謂層出不窮，永無止境。藝術家在分形畫面的不同區域塗上不同的色彩，展現在我們面前的，將會是非常美麗的畫面。
幾乎在曼德布勞特獲得Barnard獎章的同時，以德國布來梅大學的數學家和計算機專家H.Peotgen與P.Richter等為代表，在當時最先進的計算機圖形工作站上製作了大量的分形圖案；J.Hubbard等人還完成了一部名為《混沌》的計算機動畫。接著，印刷著分形的畫冊、掛曆、明信片、甚至T恤衫紛紛出籠。80年代中期開始，首先在西方已開發國家，接著在中國，分形逐漸成為膾炙人口的辭彙，甚至連十幾歲的兒童也迷上了計算機上的分形遊戲。我國北京的北方工業大學計算機圖形學小組於1992年完成了一部計算機動畫電影《相似》，這部電影集中介紹了分形圖形的相似性，這也是我國採用計算機數位技術完成的第一部電影，獲得當年電影電視部頒發的科技進步獎。
一方面，從來不以科學內容本身為主題的藝術創作，現在也大量引用“動力系統”、“疊代逼近”、“混沌吸引子”等科學術語，進而極力採用計算機繪圖手段，創造出無比神奇的作品。由這一點出發，可以說，藝術家已經開始漫步於科學領地！
另一方面，一向以嚴肅表情面向讀者的科學著作一反常態，書名也竟然浪漫起來：《The Beauty of Fractals》(分形之美)(1986)，《Fractals Everywhere》(分形處處可見)，《The Algorithmic Beauty of Plants》(植物算法中的美)(1990)，…。大量精美的、顯示分形的科學掛圖，喬裝打扮，在美術館展廳登場，接受藝術鑑賞家的評頭論足，科學家也從此跨入了神聖的藝術殿堂！分形之美，往往須經計算機的處理才能表現出來的。今天，人們可以在網路上，瀏覽與欣賞各種不同風格的分形作品，有的針對科學研究中要表達的一些特別的對象，有的則完全是藝術。網路天地會給你提供許多、美妙驚奇的分形圖畫，令你心獷神怡，也有時令你眼花繚亂。
幾何學
1973年，曼德布勞特（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學院講課時，首次提出了分維和分形幾何的構想。分形（Fractal）一詞，是曼德布勞特創造出來的，其原意具有不規則、支離破碎等意義，分形幾何學是一門以非規則幾何形態為研究對象的幾何學。由於不規則現象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學。分形幾何建立以後，很快就引起了許多學科的關注，這是由於它不僅在理論上，而且在實用上都具有重要價值。
分形幾何與傳統幾何相比有什麼特點
1、從整體上看，分形幾何圖形是處處不規則的。例如，海岸線和山川形狀，從遠距離觀察，其形狀是極不規則的。
2、在不同尺度上，圖形的規則性又是相同的。上述的海岸線和山川形狀，從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當然，也有一些分形幾何圖形，它們並不完全是自相似的。其中一些是用來描述一般隨即現象的，還有一些是用來描述混沌和非線性系統的。
什麼是分維？
在歐氏空間中，人們習慣把空間看成三維的，平面或球面看成二維，而把直線或曲線看成一維。也可以梢加推廣，認為點是零維的，還可以引入高維空間，但通常人們習慣於整數的維數。分形理論把維數視為分數，這類維數是物理學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規則”程度，1919年，數學家從測度的角度引入了維數概念，將維數從整數擴大到分數，從而突破了一般拓撲集維數為整數的界限。
分維的概念我們可以從兩方面建立起來：
一方面，我們首先畫一個線段、正方形和立方體，它們的邊長都是1。將它們的邊長二等分，此時，原圖的線度縮小為原來的1/2，而將原圖等分為若干個相似的圖形。其線段、正方形、立方體分別被等分為2^1、2^2和2^3個相似的子圖形，其中的指數1、2、3，正好等於與圖形相應的經驗維數。一般說來，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，有：a^D=b，D=logb/loga的關係成立，則指數D稱為相似性維數，D可以是整數，也可以是分數。另一方面，當我們畫一根直線，如果我們用0維的點來量它，其結果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點；如果我們用一塊平面來量它，其結果是0，因為直線中不包含平面。
那么，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值哪？看來只有用與其同維數的小線段來量它才會得到有限值，而這裡直線的維數為1（大於0、小於2）。與此類似，如果我們畫一個Koch曲線，其整體是一條無限長的線摺疊而成，顯然，用小直線段量，其結果是無窮大，而用平面量，其結果是0（此曲線中不包含平面），那么只有找一個與Koch曲線維數相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數顯然大於1、小於2，那么只能是小數（即分數）了，所以存在分維。其實，Koch曲線的維數是1.2618……。
由來
分形圖定義
1973年，曼德布勞特（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學院講課時，首次提出了分維和分形幾何的構想。分形（Fractal）一詞，是曼德布勞特創造出來的，其願意具有不規則、支離破碎等意義，分形幾何學是一門以非規則幾何形態為研究對象的幾何學。由於不規則現象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學。分形幾何建立以後，很快就引起了許多學科的關注，這是由於它不僅在理論上，而且在實用上都具有重要價值。曼德布勞特曾經為分形下過兩個定義：
滿足下式條件Dim(A)>dim(A)的集合A，稱為分形集。其中，Dim(A)為集合A的Hausdoff維數（或分維數），dim(A)為其拓撲維數。一般說來，Dim(A)不是整數，而是分數。
部分與整體以某種形式相似的形，稱為分形。
然而，經過理論和套用的檢驗，人們發現這兩個定義很難包括分形如此豐富的內容。實際上，對於什麼是分形，到目前為止還不能給出一個確切的定義，正如生物學中對“生命”也沒有嚴格明確的定義一樣，人們通常是列出生命體的一系列特性來加以說明。對分形的定義也可同樣的處理。
（1）分形集都具有任意小尺度下的比例細節，或者說它具有精細的結構。
（2）分形集不能用傳統的幾何語言來描述，它既不是滿足某些條件的點的軌跡，也不是某些簡單方程的解集。
（3）分形集具有某種自相似形式，可能是近似的自相似或者統計的自相似。
（4）一般，分形集的“分形維數”，嚴格大於它相應的拓撲維數。
（5）在大多數令人感興趣的情形下，分形集由非常簡單的方法定義，可能以變換的疊代產生。
完美結合
如果你是個有心人，你一定會發現在自然界中，有許多景物和都在某種程度上存在這種自相似特性，即它們中的一個部分和它的整體或者其它部分都十分形似。其實，遠遠不止這些。從心臟的跳動、變幻莫測的天氣到股票的起落等許多現象都具有分形特性。這正是研究分形的意義所在。例如，在道瓊斯指數中，某一個階段的曲線圖總和另外一個更長的階段的曲線圖極為相似。除了自相似性以外，分行具有的另一個普遍特徵是具有無限的細緻性。動畫所演示的是對Mandelbrot集的放大，只要選對位置進行放大，就會發現：無論放大多少倍，圖象的複雜性依然絲毫不會減少。但是，注意觀察，我們會發現：每次放大的圖形卻並不和原來的圖形完全相似。這告訴我們：其實，分形並不要求具有完全的自相似特性。
Sierpinski三角形也是比較典型的分形圖形，它們都具有嚴格的自相似特性。但是在前面說述的Mandelbrot集合卻並不嚴格自相似。所以，用“具有自相似”特性來定義分形已經有許多局限了。
