一、 什麼是分形？
1967年，美國的《科學》雜誌上發表了一篇題為《英國的海岸線究竟有多長？》的論文。這篇論文對海岸線的本質作了獨特的分析，以至當時的整個學術界為之震驚。這篇論文也成為了作者曼德布羅特（Mandelbrot）思想的轉折點，分形的理論就從此萌芽並迅速發展起來。曼德布羅特，也成為了分形論的奠基人。分形的涵義是什麼呢？
我們查閱相關的圖書，也找到一些嚴格的數學定義。但還是曼德布羅特本人提出的定義更簡潔和容易讓人接受：
”A fractal is a shape made of parts similar to the whole in some way”（如果一個圖形的部分以某種方式與其整體本身相似，這個圖形就稱為分形。）
這就是分形的最基本定義。
從分形研究的進展看，近年來，又提出許多新的概念，其中包括，自仿射分形、自反演分形、遞歸分形、多重分形、胖分形。就我們現在所學的知識來說還無法研究。
二、 分形論的前景和套用
分形理論是一門新興的橫斷學科，它給自然科學、社會科學、工程技術、文學藝術等極廣泛的學科領域，提供了一般的科學方法和思考方式。就目前所知，它有很高程度的套用普遍性。這是因為，具有標度不變性的分形結構是現實世界普遍存在的一大類結構。此處結構的含義十分豐富，它不僅指研究對象的空間幾何形態，而是一般地指其拓撲維數(幾何維數)小於其測量維數的點集，如事件點的分布，能量點的分布，時間點的分布，過程點的分布，甚至可能是意識點、思維點的分布。分形幾何學已在自然界與物理學中得到了套用。如在顯微鏡下觀察落入溶液中的一粒花粉，會看見它不間斷地作無規則運動（布朗運動），這是花粉在大量液體分子的無規則碰撞（每秒鐘多達十億億次）下表現的平均行為。布朗粒子的軌跡，由各種尺寸的折線連成。只要有足夠的解析度，就可以發現原以為是直線段的部分，其實由大量更小尺度的折線連成。這是一種處處連續，但又處處無導數的曲線。這種布朗粒子軌跡的分維是 2，大大高於它的拓撲維數 1。
在某些電化學反應中，電極附近成績的固態物質，以不規則的樹枝形狀向外增長。受到污染的一些流水中，粘在藻類植物上的顆粒和膠狀物，不斷因新的沉積而生長，成為帶有許多鬚鬚毛毛的枝條狀，就可以用分維。
自然界中更大的尺度上也存在分形對象。一枝粗乾可以分出不規則的枝杈，每個枝杈繼續分為細杈……，至少有十幾次分支的層次，可以用分形幾何學去測量。
有人研究了某些雲彩邊界的幾何性質，發現存在從 1公里到1000公里的無標度區。小於 1公里的雲朵，更受地形概貌影響，大於1000公里時，地球曲率開始起作用。大小兩端都受到一定特徵尺度的限制，中間有三個數量級的無標度區，這已經足夠了。分形存在於這中間區域。
近幾年在流體力學不穩定性、光學雙穩定器件、化學震盪反映等試驗中，都實際測得了混沌吸引子，並從實驗數據中計算出它們的分維。學會從實驗數據測算分維是最近的一大進展。分形幾何學在物理學、生物學上的套用也正在成為有充實內容的研究領域
