具體解法
①去分母
方程兩邊同時乘以最簡公分母,將分式方程化為整式方程;若遇到互為相反數時。不要忘了改變符號。
(最簡公分母:①係數取最低公倍數②未知數取最高次冪③出現的因式取最高次冪)
②移項
移項,若有括弧應先去括弧,注意變號,合併同類項,把係數化為1 求出未知數的值;
③驗根
求出未知數的值後必須驗根,因為在把分式方程化為整式方程的過程中,擴大了未知數的取值範圍,可能產生增根。
驗根時把整式方程的根代入最簡公分母,如果最簡公分母等於0,這個根就是增根。否則這個根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根,則原方程無解。
如果分式本身約分了,也要代入進去檢驗。
在列分式方程解套用題時,不僅要檢驗所得解的是否滿足方程式,還要檢驗是否符合題意。
一般的,解分式方程時,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母為零,因此要將整式方程的解代入最簡公分母,如果最簡公分母的值不為零,則是方程的解.
★注意
(1)注意去分母時,不要漏乘整式項。
(2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根,但不是原分式方程的根。
(3)増根使最簡公分母等於0。
(4)分式方程中,如果x為分母,則x應不等於0
歸納及例題
解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程,具體做法是“去分母”,即方程兩邊同乘最簡公分母,這也是解分式方程的一般思路和做法。
注意:可憑經驗判斷是否有解。若有解,帶入所有分母計算:若無解,帶入無解分母即可。
增根的不可忽視性
許多人解方程時,得到了增根,比如說能量是負值,一般的人都會將這個忽視掉,但這些值是挺令人尋味的。著名的物理學家狄拉克利用相對論、量子力學尋找粒子的能量時,他發現某個粒子的能量和其動量緊密相關,即E2=p2+m2(p為動量,m為粒子的質量),解得E=±(p2+m2)^½;你肯定想保留正根,因為你知道能量不會是負值,但數學家們告訴狄拉克,你不能忽略負值,因為數學告訴我有兩個根,你不能隨便丟掉。
後來事實證明,第二個根,也就是為負的那個根,正是理論的關鍵:世界上既有粒子,也有反粒子。負能量就是用來解釋反粒子。
套用題
編輯
列分式方程解套用題的一般步驟是:審(找等量關係)-設-列-解-驗(根)-答。
例題[1]
南寧到昆明西站的路程為828km,一列普通列車和一列直達快車都從南寧開往昆明。直達快車的速度是普通快車速度的1.5倍,普通快車出發2h後,直達快車出發,結果比普通列車先到4h,求兩車的速度.
設普通車速度是x千米每小時則直達車是1.5x
由題意得:
答:普通車速度是46km/h,直達車是69km/h。
無解的含義:
1.解為增根。
2.整式方程無解。(如:0x不等於0。)