來源
對於分母的值為零時，這個分數無意義，所以不允許分母為0，即本身就隱含著分母不為零的條件。當把分式方程轉化為整式方程以後，這種限制取消了，換言之，方程中未知數的值範圍擴大了，如果轉化後的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許值之外的值，那么就會出現增根。
舉例
增根解：去分母，x-2=0，
∴x=2。
又因為x-2=0，
∴方程無解
∴方程無意義，X=2是增根。
設方程 A(x)=0 是由方程 B(x)=0 變形得來的，如果這兩個方程的根完全相同（包括重數），那么稱這兩個方程等價。如果 x=a 是方程 A(x)=0 的根但不是B(x)=0 的根，稱 x=a 是方程的增根；如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根，稱x=b 是方程B(x)=0 的失根。
非函式方程的增根
在兩非函式方程（如圓錐曲線）聯立求解的過程中，增根的出現主要表現在定義域的變化上。
增根例如：若已知橢圓 ，O為原點坐標，A為橢圓右頂點，若橢圓上存在一點P，使OP⊥PA，求橢圓的圓心率的範圍。
解：橢圓上存在一點P，使OP⊥PA，即是以OA為直徑畫圓，要求與橢圓有除了A(a,0)以外的另外一個解。所以聯立橢圓和圓的方程：
增根
增根
增根
增根
增根因為有兩個根，所以
增根
增根而正解卻是
增根由（*）得
增根∴
增根∴
增根然而問題出在，無論怎么取，只要 ，好像△永遠都大於0。
於是我們取e=1/2
增根假設
增根即可得橢圓 ···①
增根與圓 ···②
增根聯立即可得 ···(*)
增根有十字相乘
增根顯然 此時 是增根
增根
增根將 帶入①式
增根 增根將 帶入②式
增根
增根將 帶入(*)式
可知這裡的確是產生了一個增根，而且在解題過程中不能通過任何方式排除，這說明多個非函式方程聯立求解時，方程本身無法限制x的取值。一般來說，直線與圓錐曲線的聯立並沒有出現過算出兩個解，還需要帶回去驗根的情況，大概是因為圓錐曲線不是函式，而直線是函式的原因。
注意：
1.不是任何的兩個非函式方程聯立都會產生增根。例如圓不是函式，但求兩個圓的交點，不會產生增根。
增根
增根2.增根的產生和定義域有關係，但沒有絕對的關係。不能說聯立方程時，將x定義域擴大或縮小就必然會引起增根。如上述例題中，①式定義域(-2,2) ②式定義域(0,2)大多數人是在②式中，用x表示y，寫成 ，再帶入①式，產生了增根。但是如果我們在①式中用x表示y，寫成 ，再帶入②式，我們依然會得到增根。
下面列出兩種必然會出現增根的一般式：
橢圓與拋物線增根
增根
增根橢圓(和拋物線聯立方程式得：
增根
增根
增根由韋達定理得 且
增根
增根 增根
增根可知，若，則，出現原因是忽略了中的隱含定義域x>0。聯立方程式求解誤認為x∈R（另外我們還知道）。
雙曲線與拋物線增根
增根 增根雙曲線和拋物線聯立方程式得
增根 增根
增根由韋達定理得且
增根 增根 增根 增根可知，若，則，出現原因是忽略了中的隱含定義域x>0。聯立方程式求解誤認為x∈R（另外我們還知道）。
無理數方程的增根
增根
增根解：兩邊平方得
增根得
得x=5或x=-6（增根）
出現增根的原因是由於兩邊平方忽略了上式的X>0且根號內的值大於等於0。
由於同樣的粗心大意，錯誤還會在無理不等式中體現。
解法
解分式方程時出現增根或失根，往往是由於違反了方程的同解原理或對方程變形時粗心大意造成的。
如果不遵從同解原理，即使解整式方程也可能出現增根．例如將方程x-2=0的兩邊都乘x，變形成x(x－2)=0，方程兩邊所乘的最簡公分母，看其是否為0，是0即為增根。
還可以把x代入最簡公分母也可。
增根的產生，歸根結底都是因為思維的不全面產生的。解題時要保證步步變形的等價性，這種等價性要通過等式和不等式去約束出來，特別是不等式，容易被忽略。如果不得已必須用不等價變形來解題，那么最後千萬別忘記通過檢驗來去掉增根，這種檢驗也要注意全面性。
增根的不可忽視性
許多人解方程時，得到了增根，比如說能量是負值，一般的人都會將這個忽視掉，但這些值是挺令人尋味的。著名的物理學家狄拉克利用相對論、量子力學尋找粒子的能量時，他發現某個粒子的能量和其動量緊密相關，即E^2=p^2+m^2（p為動量，m為粒子的質量），解得E=±（p^2+m^2）^(1/2),你肯定想保留正根，因為你知道能量不會是負值，但數學家們告訴狄拉克，你不能忽略負值，因為數學告訴我有兩個根，你不能隨便丟掉。
後來事實證明，第二個根，也就是為負的那個根，正是理論的關鍵：世界上既有粒子，也有反粒子。負能量就是用來解釋什麼是反粒子的。
