概況
數學史表明，重要的數學概念的產生和發展，對數學發展起著不可估量的作用。有些重要的數學概念對數學分支的產生起著奠定性的作用。我們剛學過的函式就是這樣的重要概念。
在笛卡爾引入變數以後，變數和函式等概念日益滲透到科學技術的各個領域。縱覽宇宙，運算天體，探索熱的傳導，揭示電磁秘密，這些都和函式概念息息相關。正是在這些實踐過程中，人們對函式的概念不斷深化。
發展史
回顧一下函式概念的發展史，對於剛接觸到函式的國中同學來說，雖然不可能有較深的理解，但無疑對加深理解課堂知識、激發學習興趣將是有益的。
最早提出函式（function）概念的，是17世紀德國數學家萊布尼茨。最初萊布尼茨用“函式”一詞表示冪，如都叫函式。以後，他又用函式表示在直角坐標系中曲線上一點的橫坐標、縱坐標。
1718年，萊布尼茨的學生、瑞士數學家貝努利把函式定義為：“由某個變數及任意的一個常數結合而成的數量。”意思是凡變數x和常量構成的式子都叫做x的函式。貝努利所強調的是函式要用公式來表示。
後來數學家覺得不應該把函式概念局限在只能用公式來表達上。只要一些變數變化，另一些變數能隨之而變化就可以，至於這兩個變數的關係是否要用公式來表示，就不作為判別函式的標準。
1755年，瑞士數學家歐拉把函式定義為：“如果某些變數，以某一種方式依賴於另一些變數，即當後面這些變數變化時，前面這些變數也隨著變化，我們把前面的變數稱為後面變數的函式。”在歐拉的定義中，就不強調函式要用公式表示了。由於函式不一定要用公式來表示，歐拉曾把畫在坐標系的曲線也叫函式。他認為：“函式是隨意畫出的一條曲線。”
當時有些數學家對於不用公式來表示函式感到很不習慣，有的數學家甚至抱懷疑態度。他們把能用公式表示的函式叫“真函式”，把不能用公式表示的函式叫“假函式”。1821年，法國數學家柯西給出了類似現在中學課本的函式定義：“在某些變數間存在著一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值可隨著而確定時，則將最初的變數叫自變數，其他各變數叫做函式。”在柯西的定義中，首先出現了自變數一詞。
1834年，俄國數學家羅巴契夫斯基進一步提出函式的定義：“x的函式是這樣的一個數，它對於每一個x都有確定的值，並且隨著x一起變化。函式值可以由解析式給出，也可以由一個條件給出，這個條件提供了一種尋求全部對應值的方法。函式的這種依賴關係可以存在，但仍然是未知的。”這個定義指出了對應關係（條件）的必要性，利用這個關係，可以來求出每一個x的對應值。
1837年，德國數學家狄里克雷認為怎樣去建立x與y之間的對應關係是無關緊要的，所以他的定義是：“如果對於x的每一個值，y總有一個完全確定的值與之對應，則y是x的函式。”這個定義抓住了概念的本質屬性，變數y稱為x的函式，只須有一個法則存在，使得這個函式取值範圍中的每一個值，有一個確定的y值和它對應就行了，不管這個法則是公式或圖象或表格或其他形式。這個定義比前面的定義帶有普遍性，為理論研究和實際套用提供了方便。因此，這個定義曾被比較長期的使用著。
自從德國數學家康托爾的集合論被大家接受後，用集合對應關係來定義函式概念就是現在高中課本里用的了。
中文數學書上使用的“函式”一詞是轉譯詞。是我國清代數學家李善蘭在翻譯《代數學》（1895年）一書時，把“function”譯成“函式”的。
中國古代“函”字與“含”字通用，都有著“包含”的意思。李善蘭給出的定義是：“凡式中含天，為天之函式。”中國古代用天、地、人、物4個字來表示4個不同的未知數或變數。這個定義的含義是：“凡是公式中含有變數x，則該式子叫做x的函式。”所以“函式”是指公式里含有變數的意思。
我們可以預計到，關於函式的爭論、研究、發展、拓廣將不會完結，也正是這些影響著數學及其相鄰學科的發展。
