人物生平
早年生活
1646年7月1日，戈特弗里德·威廉·萊布尼茨出生於神聖羅馬帝國的萊比錫，祖父三代人均曾在薩克森政府供職，父親是Friedrich Leibnütz，母親是Catherina Schmuck。長大後，萊布尼茨名字的拼法才改成“Leibniz”，但是一般人習慣寫成“Leibnitz”。晚年時期，他的簽名通常寫成“von Leibniz”，以示貴族身份。萊布尼茨死後，他的作品才公諸於世，作者名稱通常是“Freiherr [Baron] G. W. von Leibniz.”，但沒有人確定他是否確實有男爵的貴族頭銜。
萊布尼茨的父親是萊比錫大學的倫理學教授，在萊布尼茨6歲時去世，留下了一個私人的圖書館。12歲時自學拉丁文，並著手學習希臘文。14歲時進入萊比錫大學念書，20歲時完成學業，專攻法律和一般大學課程。1666年他出版第一部有關於哲學方面的書籍，書名為《論組合術》（de arte combinatoria）。
任職法庭
1666年萊布尼茨於Altdorf拿到博士學位後，拒絕了教職的聘任，並經由當時政治家Boineburg男爵的介紹，任職服務於美茵茨選帝侯大主教Johann Philipp von Schönborn的高等法庭。
1671年發表兩篇論文《抽象運動的理論》（Theoria motus abstracti）及《新物理學假說》（Hypothesis physica nova），分別題獻給巴黎的科學院和倫敦的皇家學會，在當時歐洲學術界增加了知名度。
1672年萊布尼茨被Johann Philipp派至巴黎，以動搖路易十四對入侵荷蘭及其它西歐日爾曼鄰國的興趣，並轉投注精力於埃及。這項政治計畫並沒有成功，但萊布尼茨卻進入了巴黎的知識圈，結識了馬勒伯朗士和數學家惠更斯等人。這一時期的萊布尼茨特別研究數學，而發明了微積分。
1672及1673年Boineburg和Johann Philipp卻相繼過世，迫使萊布尼茨最後於1676年離開巴黎而轉任職服務於漢諾瓦的Johann Friedrich公爵。於上任時，順道于海牙拜訪斯賓諾莎，與其數天一同討論哲學。之後萊布尼茨就到漢諾瓦管理圖書館，並擔任公爵法律顧問。
1680至1685年間，擔任哈茨山銀礦礦采工程師。在這期間，萊布尼茨致力於風車設計，以抽取礦坑中的地下水。然而受限於技術問題和礦工傳統觀念的阻力，計畫沒有成功。
1685年起，再受繼任的公爵Ernst August所託，轉而開始做其Braunschweig-Lüneburg貴族族譜研究。這項計畫一直到萊布尼茨去世前都沒有完成。
1686年完成《形上學論》(Discours de métaphysique)。
1689年為完成Braunschweig-Lüneburg族譜研究，遊歷於義大利。其時結識耶穌會派遣於中國的傳教士，而開始對中國事物有更強烈的興趣。
1695年於期刊發表《新系統》，進而使萊布尼茨哲學中，關於實體間與心物間之“預定和諧”理論，被廣泛認識。
擔任院長
1700年萊布尼茨說服布蘭登堡選帝侯腓特烈三世於柏林成立科學院，並擔任首任院長。
1704年完成《人類理智新論》。本文針對洛克的《人類理智論》，用對話的體裁，逐章節提出批評。然因洛克的突然過世，萊布尼茨不願被落入欺負死者的口實，所以本書在萊布尼茨生前一直都沒有出版。
1710年，出於對1705年過世的普魯士王后Sophie Charlotte的感念，出版《神義論》(Essais de Théodicée)。
1714年於維也納著寫《單子論》（La Monadologie；標題為後人所加）及《建立於理性上之自然與恩惠的原理》。同年，漢諾瓦公爵Georg Ludwig繼任為英國國王喬治一世，卻拒絕將萊布尼茨帶至倫敦，而將他疏遠於漢諾瓦。
晚年逝世
1716年11月14日萊布尼茨於漢諾瓦孤獨地過世，除了他自己的秘書外，即使George Ludwig本人正巧在漢諾瓦，宮廷無其他人參加他的喪禮。直到去世前幾個月，才寫完一份關於中國人宗教思想的手稿：《論中國人的自然神學》。
人物成就
微積分
現今在微積分領域使用的符號仍是萊布尼茨所提出的。在高等數學和數學分析領域，萊布尼茨判別法是用來判別交錯級數的收斂性的。
萊布尼茨與牛頓誰先發明微積分的爭論是數學界至今最大的公案。萊布尼茨於1684年發表第一篇微分論文，定義了微分概念，採用了微分符號dx，dy。1686年他又發表了積分論文，討論了微分與積分，使用了積分符號∫。依據萊布尼茨的筆記本，1675年11月11日他便已完成一套完整的微分學。
然而1695年英國學者宣稱：微積分的發明權屬於牛頓；1699年又說：牛頓是微積分的“第一發明人”。1712年英國皇家學會成立了一個委員會調查此案，1713年初發布公告：“確認牛頓是微積分的第一發明人。”萊布尼茨直至去世後的幾年都受到了冷遇。由於對牛頓的盲目崇拜，英國學者長期固守於牛頓的流數術，只用牛頓的流數符號，不屑採用萊布尼茨更優越的符號，以致英國的數學脫離了數學發展的時代潮流。
不過萊布尼茨對牛頓的評價非常的高，在1701年柏林宮廷的一次宴會上，普魯士國王腓特烈詢問萊布尼茨對牛頓的看法，萊布尼茨說道：“在從世界開始到牛頓生活的時代的全部數學中，牛頓的工作超過了一半”
牛頓在1687年出版的《自然哲學的數學原理》的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最傑出的幾何學家萊布尼茨的通信中，我表明我已經知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，……這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發現了一種同樣的方法。他並訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什麼不同，除了他的措詞和符號而外”（但在第三版及以後再版時，這段話被刪掉了）。因此，後來人們公認牛頓和萊布尼茨是各自獨立地創建微積分的。
牛頓從物理學出發，運用集合方法研究微積分，其套用上更多地結合了運動學，造詣高於萊布尼茨。萊布尼茨則從幾何問題出發，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數學的嚴密性與系統性是牛頓所不及的。
萊布尼茨認識到好的數學符號能節省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。因此，他所創設的微積分符號遠遠優於牛頓的符號，這對微積分的發展有極大影響。1714至1716年間，萊布尼茨在去世前，起草了《微積分的歷史和起源》一文（本文直到1846年才被發表），總結了自己創立微積分學的思路，說明了自己成就的獨立性。
拓撲學
拓撲學最早稱之“位相分析學”（analysis situs），是萊布尼茨1679年提出的，這是一門研究地形、地貌相類似的學科，當時主要研究的是出於數學分析的需要而產生的一些幾何問題。關於萊布尼茨對拓撲學的貢獻，尚存爭論。Mates引用Jacob Freudenthal1954年一篇論文裡的話說：
儘管萊布尼茨認為一列點在空間中的位置是由其間距離唯一決定的——若且唯若距離發生變化時點的位置發生相應的改變——他的仰慕者歐拉，在他著名的一篇論文（1736年發表，解決了柯尼斯堡七橋問題及其推廣）中，卻是在“拓撲變形時點的位置不發生變化”的意義下使用“幾何位置”這個名詞的。他誤信了萊布尼茨是這個概念的創始者。……人們常常意識不到萊布尼茨是在完全不同的意義下使用這個名詞的，因此被尊為數學的這個分支領域的奠基人並不恰當。
但平野秀秋持有不同看法，他引用本華·曼德博的話說:
在 萊布尼茨海量的科學成果中探索是發人深省的體驗。除了微積分以及其他已經完成的研究之外，大量涉及內容廣泛且極富前瞻性的研究對科學發展的推動力勢不可 擋。在‘填充理論’上即有例子，……在發現萊布尼茨還曾經關注過幾何度量的重要性之後，我對他的狂熱更甚了。在“歐幾里德普羅塔”中……，其使得歐幾里德 公理更加嚴格，他陳述道，……‘對直線，我有數種不同的定義。直線是曲線的一種，而曲線的任何部分都是和整體相似的，因此直線也具有這種特性；這不僅適用 於曲線，而且適用於集合。’這個論斷今天已經可以被證明。
因而分形幾何（由本華·曼德博發揚光大）理論在萊布尼茨的自相似性思想和連續性原理中尋求支持：大自然沒有跳躍（拉 丁語“natura non facit saltus”，英語"nature does not make jumps"）。當萊布尼茨在他的形上學著作中寫道，“直線是曲線的一種，其任何部分都是和整體類似的”，他實際上提前兩個世紀預言了拓撲學的誕生。至 於“填充理論”，萊布尼茨對他的朋友Des Bosses說，“你想像一個圓，然後用三個全等的最大半徑的圓填滿它，後來的三個小圓又可以以同樣的過程被更小的圓填充”。這個過程可以無限地繼續下 去，並由此生髮出了自相似性的思想。萊布尼茨對於歐氏公理的改進亦包含同樣的概念。
符號思維
萊布尼茨有個顯著的信仰，大量的人類推理可以被歸約為某類運算，而這種運算可以解決看法上的差異：
"精煉我們的推理的唯一方式是使它們同數學一樣切實，這樣我們能一眼就找出我們的錯誤，並且在人們有爭議的時候，我們可以簡單的說： 讓我們計算[calculemus]，而無須進一步的忙亂，就能看出誰是正確的。" (發現的藝術 1685,W 51）
萊布尼茨的演算推論器，很能讓人想起符號邏輯，可以被看作使這種計算成為可行的一種方式。萊布尼茨寫的備忘錄（帕金森1966年翻譯了它們）可以被看作是對符號邏輯的探索--所以他的演算--上路了。但是 Gerhard 和 Couturat 沒有出版這些著作，直到現代形式邏輯在 1880 年代於 Frege 的概念文字 和 Charles Peirce 及他的學生的著作中形成，所以就更在喬治·布爾和德·摩根在 1847 開創這種邏輯之後了。
單子論
除了是一位出眾的天才數學家之外，萊布尼茨亦是歐陸理性主義哲學的高峰。承斷了西方哲學傳統的思想，他認為世界，因其確定（換句話說，有關世界的知識是客觀普遍和必然的）之故，必然是由自足的實體所構成。所謂的自足，是不依他物存在和不依他物而被認知。萊布尼茨的前輩斯賓諾莎以為實體只有一個，就是神/自然。萊布尼茨對此不敢苟同，原因之一是斯氏的泛神觀和聖經的神學有明顯衝突，其次，是因為斯氏的理論沒有能夠解決由笛卡兒以降的二元論，令世界出現了斷層（他雖然強調世界為一，但沒有說明這一個看來是二元對立的世界的一統是如何可能）。
萊布尼茨以為實體是多的，是無限多的。跟隨亞里士多德的實體觀，他以為實體是一命題的主語。在一個命題S是P中，S就是實體。因為實體是自足的，則它要包含所有可能的謂語，即是“...是P”。由此，我們可以推出，實體有四個特徵：不可分割性、封閉性、統有性和道德性。
不可分割性是指，任何有廣延的東西，即有長度的東西，都可以被分割。被分割了的東西分別包含了自己的全部可能性，並且自足，則有廣延的東西的內容，即可能性要依附於他的部分的可能性。如此類推，則只要有廣延性，就不自足，而要依他物而被知（對萊布尼茨來說，真正的知識就是要窮一物的可能性），就不是實體。故實體不可分割，是一沒有廣延的東西，在萊布尼茨的晚年著作中（Monadology），他稱之為單子（Monad），單子的性質就是思（thought）。這廣延的世界就是由無限多的單子構成。
封閉性是說每一單子必然是自足的，不依他而存在，而又包含了自己的全部可能性。則一單子不可能和另一單子有互動作用（interaction）。若一單子作用於另一單子，則後一單子有一可能性沒有包括在該單子之內，即該單子沒能自足的包含自己的全部內容，而要依附於他物。因為實體的定義，這是不可能的。故萊布尼茨說：“單子之間沒有窗戶。”
統有性是指每一單子都必然以某種角度（perspective）包括了全世界。因為世界是緊密的由因果所構成，故A作用於B，其實不單單是作用於B，而是全世界。如果說一單子的內容包括自身的全部可能，則每一單子均以該單子自身為中心指向全世界。而這個世界是一的，不等於說所有單子都是一樣的，因為同一世界可以不同的角度來認知，而不失為一一統的世界。
最後，單子的道德性則較複雜。這個特性的提出是基於兩個理由，一、是世界的一統性（unity），二、是世界的確定性。對於前者，所有的單子都包含全世界，但各以自己的角度，世界的一統性是不是假的呢？如果我們要說一統，可以如何說起呢？對於後者，世界是由單子構成，單子只是其可能性的集合，世界亦只是一可能。那我們是不是不可能有一種不僅僅是可能，而是必然的知識呢？我們可以在什麼意義下說有關世界的知識是真的、確定的呢？萊布尼茨將之歸功於一神，世界的創造者。從一個方面說，神在創造之前，沒有已成的材料，故沒有既成的有限處境，則創造是一純意志的創造，神是單憑其至善而創造這一個世界的。
故此，如萊布尼茨的名言，這一個確切成就了的世界是“眾多可能的世界之中最好的一個。”這乎合了萊布尼茨的信仰要求。另一方面，要確定的了解一事物，則要了解其原因。要理解這一個原因，又要追索該原因的原因。如此類推，則世界的確定性知識不可能是一世界之內的動因（efficient cause），而是一超越的形上因（metaphysical cause）。
萊布尼茨稱這個理論上必要設定的形上因為神。故，這一個世界之所以是如此，就是因為這是最好的，是至善的可能世界。人，要完全理解這神的至善意志，是不可能的，但可朝這一個方向邁進，因為人的心靈作一特殊的單子，是有記憶的，可以基於過去，疇劃自己的未來，這是人類分享的神性，即道德的可能性。人可以透過開放可能性，了解這個神創造的世界，而了解如何成為一個道德的人。
這一種世界的道德觀，可以被視為康德的先驅，分別在於萊布尼茨獨斷的提出了神為道德的完滿，把可能性說成了是在神的目光之下的實在，而沒有真正的將世界的可能性看作為可能性。而且萊布尼茨對天賦觀念（innate idea）的批評，正是黑格爾對康德的批評，在這個意義上說，康德一方面是被休謨（Hume）從萊布尼茨的獨斷夢中喚醒，可是同時亦到由洛克（Locke）起的哲學病變--對理性界限的審查--所污染。在這一方面，萊布尼茨卻比康德走前了一步。
形式邏輯
萊布尼茨是在亞里士多德和1847年喬治·布爾和德·摩根分別出版開創現代形式邏輯的著作之間最重要的邏輯學家。萊布尼茨闡明了合取、析取、否定、同一、集合包含和空集的首要性質。萊布尼茨的邏輯原理和他的整個哲學可被歸約為兩點：
所有的我們的觀念（概念）都是由非常小數目的簡單觀念複合而成，它們形成了人類思維的字母。
複雜的觀念來自這些簡單的觀念，是由它們通過模擬算術運算的統一的和對稱的組合。
人物軼事
萊布尼茨與中國文化
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1701年白晉給萊布尼茨的周易圖 萊布尼茨是最早接觸中華文化的歐洲人之一，曾經從一些曾經前往中國傳教的教士那裡接觸到中國文化，之前應該從馬可·波羅引起的東方熱留下的影響中也了解過中國文化。法國漢學大師若阿基姆·布韋（Joachim Bouvet，漢名白晉，1662－1732年）向萊布尼茨介紹了《周易》和八卦的系統。在萊布尼茨眼中，“陰”與“陽”基本上就是他的二進制的中國版。他曾斷言：“二進制乃是具有世界普遍性的、最完美的邏輯語言”。今天在德國圖林根，著名的郭塔王宮圖書館（Schlossbibliothek zu Gotha）內仍保存一份萊氏的手稿，標題寫著“1與0，一切數字的神奇淵源。”
事實上，說萊布尼茨看到陰陽才發明二進制完全是斷章取義，相反手稿標題全文是：《1 與 0，一切數字的神奇淵源。……這是造物的秘密美妙的典範，因為，一切無非都來自上帝。》，而且萊布尼茨自己寫給若阿基姆·布韋的信中萊布尼茨寫到的是：“第一天的伊始是 1，也就是上帝。第二天的伊始是 2，……到了第七天，一切都有了。所以，這最後的一天也是最完美的。因為，此時世間的一切都已經被創造出來了。因此它被寫作‘7’，也就是‘111’（二進制中的111等於十進制的7），而且不包含0。只有當我們僅僅用 0 和 1 來表達這個數字時，才能理解，為什麼第七天才最完美，為什麼 7 是神聖的數字。特別值得注意的是它（第七天）的特徵（寫作二進制的111）與三位一體的關聯。”。
中國有廣為流傳的觀點認為現代計算機的二進制來自於中國的八卦，但這早已被證明是一個神話。對這一錯誤，郭書春在《古代世界數學泰斗劉徽》一書461頁指出：“中國有所謂《周易》創造了二進制的說法，至於萊布尼茲受《周易》八卦的影響創造二進制並用於計算機的神話，更是廣為流傳。事實是，萊布尼茲先發明了二進制，後來才看到傳教士帶回的宋代學者重新編排的《周易》八卦，並發現八卦可以用他的二進制來解釋。”因此，並不是萊布尼茨看到陰陽八卦才發明二進制。梁宗巨著《數學歷史典故》一書14～18頁對這一歷史公案有更加詳盡考察，想進一步了解者可參考。
更進一步，二進制具有加減乘除運算，具有與其他進制的換算，而陰陽八卦根本沒有加減乘除，與其他進制的換算。因此，它們僅僅具有表面的相似，本質上是不同的。
