簡介
在群體理論中，冪零群是“差不多的阿貝爾”群體。 這個想法的出現是由於冪零群是可解的，而對於有限的冪零群來說，是可以超解的（supersolvable）。 這個概念被俄羅斯數學家謝爾蓋切爾尼科夫在20世紀30年代編輯出來。
和群體的分類一樣，伽羅瓦理論中也出現了冪零群。同樣的，他們也在李群的分類中被突出的顯示出來。
類似術語用於李代數（使用李括弧），包括冪零，下中央系列和上中央系列。
定義
該定義使用這個想法：用自己來解釋群的中央系列。 以下是等效的定義方式：
（1）冪零群是具有有限長度的中心繫列的群。
（2）冪零群是一個低級中心繫列在有限步驟之後終止於普通群中的群。
（3）冪零群是一個上中心繫列在有限的步驟之後終止於整個群的群。
對於冪零群，最小的n使得G具有長度為n的中心繫列被稱為G的冪零級；而G被認為是級數n的冪零。 （根據定義，如果系列中有n + 1個不同的子群，包括普通的子群和整個群，那么長度為n。
冪零群同樣的，G的冪零群是下中央系列或上中央系列的長度。 如果一個群的冪零級最大是m，那么它有時被稱為群。
冪零級是0的群是唯一的，並且級別為1的冪零群正是高級的阿貝爾群。
舉例
（1）如上所述，每個阿貝爾群都是冪零群。
（2）對於一個小的非阿貝爾群的例子，考慮一個四元群Q，它是一個最小的非阿貝爾p群。 它具有階數2的中心{1，-1}，其中心繫列為{1}，{1，-1}，Q8; 所以這是級別為2的冪零群。
（3）所有有限的p組實際上都是冪零群。p 群的最大階數是n-1。
（4）兩個冪零群的直接計算結果還是冪零群。
（5）相反，每個有限的冪零群是p組的直接乘積。
（6）海森堡群是非阿貝爾群，但卻是冪零群。
（7）任何場F上的上單位三角形n×n矩陣的乘法組是冪零長度n-1的冪零群。
（8）場F上的可逆上三角形n×n矩陣的乘法組不是一般的冪零群。
術語解釋
冪零群
冪零群
冪零群
冪零群之所以叫冪零群，是因為任何元素的“伴隨動作”是冪零的，這意味著對於冪零群G的冪零度n和元素g，函式是由定義的（其中是g和x的換向公式），第n次疊代是冪零的：。
冪零群這不是冪零群的定義特徵：是n的冪級的群被稱n-恩格爾群，一般不需要是冪零的。
屬性
由於上中央序列中的每個連續因子群Z / Z是阿貝爾的，並且集也是有限的，所以每個冪零群是具有相對簡單結構的可解群。
級別為n的冪零群的每個子群的等級最多為n；另外，如果f是等級為n的冪零群的同態群，則f的圖像也是等級最多為n的冪零群。
以下陳述等同於有限群，揭示了冪零群的一些有用的屬性：
（a）G是一個冪零群。
（b）如果H是G的子群，則H是N（H）的正常子群。 這被稱為歸一化，可以簡單地表述為“規範化程式增長”。
（c）G的每個Sylow子群均正常。
（d）G是其Sylow子群的直接產物。
證明：
（a）→（b）：通過 G |。 如果G為阿貝爾群，則對於任何H，N（H）=“G”。 如果不是，如果Z（G）不包含在H中，則hH h = h'H'h = H，所以H·Z（G）歸一為H。如果Z（G）包含在H ，則G / Z（G）中含有H / Z（G）。 因此，存在G / Z（G）的子群，H / Z（G）和H / Z（G）是其亞群。 因此，將這個子群撤回到G中的子群，並將其歸一化。（這個證明與p組相同 - 只有當G是無效時，G / Z（G） - 所以細節省略。）
（b）→（c）：令p1，p2，...，ps是除以其順序的不同素數，並且令Sylpi（G）中的Pi為1≤i≤s.Let對於某些i 並使N = NG（P）。 由於P是N的正常子組，P是N中的特徵。由於P char N和N是NG（N）的正常子群，所以我們得到P是NG（N）的正常子群。 這意味著NG（N）是N的子群，因此NG（N）= N.By（b），因此我們必須具有N = G，其給出（c）。
（c）→（d）：令p1，p2，......，ps為不同的素數除以其順序，並且令S 1（i）中的Pi為1≤i≤s.對於任何t，1≤t 表示P1P2 ... Pt與P1×P2×...×Pt同構。 首先注意，每個Pi在G中是正常的，因此P1P2 ... Pt是G的子群。令H為乘積P1P2 ... Pt-1，令K = Pt，因此H與P1×P2×...×Pt-1。 特別地，拉格朗日定理意味著H和K的等價於1.通過定義，P1P2 ... Pt = HK，因此HK與H×K同構，等於P1×P2×...×Pt。再取t = s得到（d）。
（d）→（a）：容易獲得Z（P1×P2×...×Ps）與Z（P1）×...×Z（Ps）同構，則G / Z（G）=（P1 / Z））×...×（PS / Z（Ps）的）。 因此，（d）的假設也適用於G / Z（G）。如果Pi≠1則Z（Pi）≠1，所以如果G≠1，| G / Z（G）| 小於| G |。 通過歸納，G / Z（G）是冪零的，所以G是冪零的。
最後一個語句可以擴展到無限群：如果G是一個非零群，則G的每個Sylow子群G都是正常的，並且這些Sylow子群的直接乘積是G中有限階的所有元素的子群。
