二項式定理
二項展開式
二項展開式
二項展開式
二項展開式
二項展開式其中， ，又有 等記法，稱為二項式係數，此係數亦可表示為楊輝三角形。等式的右邊 即為 的展開式，稱為二項展開式。
理解
二項展開式
二項展開式
二項展開式
二項展開式
二項展開式 二項展開式
二項展開式 二項展開式
二項展開式 二項展開式
二項展開式
二項展開式 二項展開式
二項展開式 二項展開式 二項展開式
二項展開式將 看成 個 相乘，從每個括弧中取一項 (非 即 ) 相乘的所有單項式合併同類項得到的，按取 的個數分為 類 ，不取 的是 ，取 1 個 的是 ，...， 取 個 的是 ，...，取 個 的是
注意：
（1）選取性，二項式的兩項怎樣選取 (各取幾個) 才能構成所求的項；
二項展開式
二項展開式 二項展開式 二項展開式
二項展開式 二項展開式 二項展開式 二項展開式（2）有序性， 的展 開式第 項是取 個 (同時取 個 )， 這裡的 和 不能互換
（3）項 、項的係數與二項式係數的區別
二項展開式某項要把這一項全部寫出來；某項的係數只寫這一項的係數，不帶字母 (即把每個字母當作數 1) ；某項的二項式係數就是相應的組合數
性質
（1）項數：n+1項
二項展開式（2）第k+1項的二項式係數是
（3）在二項展開式中，與首末兩端等距離的兩項的二項式係數相等。
（4）如果二項式的冪指數是偶數，中間的一項的二項式係數最大。如果二項式的冪指數是奇數，中間兩項的的二項式係數最大，並且相等。
二項展開式 二項展開式（5）二項式通項：，是第項
證明
這裡，採用數學歸納法對二項式定理進行證明
二項展開式
二項展開式當 ，
二項展開式
二項展開式假設二項展開式在 時成立，設 ，則：
二項展開式
二項展開式
二項展開式
二項展開式
二項展開式（取出 的項）
二項展開式
二項展開式（設 ）
二項展開式
二項展開式（ 取出 項）
二項展開式（兩者相加）
二項展開式（套用帕斯卡法則）
二項展開式等式也成立
結論：對於任意自然數n，等式均成立。
例題
某項的係數
求二項展開式的某項或某項的係數是高考數學的一個基本知識點，每年的高考題都有一定的題出現。
二項展開式
二項展開式例1. 求 的展開式中 的係數
二項展開式 二項展開式
二項展開式解： 要取2個，故 的係數是
二項展開式
二項展開式例2. 求 的展開式中 的係數
二項展開式 二項展開式
二項展開式解： 要取4個，故的係數是
係數最值項
二項展開式例. 求展開式中係數最大項和最小項
解：
二項展開式通項=
二項展開式通項的係數=
二項展開式
二項展開式設係數 最大，則
二項展開式
二項展開式
二項展開式
二項展開式
二項展開式解得： ，因為，所以，故係數最大項為和
二項展開式
二項展開式由於最大項在中間取得，所以最小項在兩端，計算得：，故係數最小項為
指定項
求二項展開式中的指定項，一般是利用通項公式進行。
二項展開式例. 展開式中的常數項
二項展開式
二項展開式
二項展開式解：展開式的通項=，令 ，解得
二項展開式故常數項為：
