一、定義
1. 下界
下確界
下確界 下確界
下確界設給定一數集E，若存在m R，使得對於 x E，都有x m，則稱m是集合E的一個下界。
下確界 下確界
下確界例：若E= ，不難驗證只要m ，m就是集合E的一個下界。
2. 下確界
下確界
下確界
下確界一個數集可以由有限個數組成，也可以由無窮多個數組成，前者稱為有限（數）集，後者稱為無限（數）集。任何有限數集都有一個最小數，但對於無限數集來說就不一定有最小數了。例如，由一切x 1所組成的數集沒有最小數；又如數集 ( )有最小數1/2.
我們知道，有界數集有無窮多個下界。因而，對於有有界數集來說，如果它有最小數，那么這個最小數也是它的下界中的一個，並且比這個最小數大的任何數都不是它的下界，這時，這個最小數自然就是它的最大的下界。
但在上面的例子中已經看到，對一般無限數集來講不一定有最小數。然而，對於某些無限數集來說，最大的下界確實存在，這裡暫時撇開最大下界的存在性，而對一般數集的最大下界給予確切的定義。
下確界設給定一數集E。若存在這樣一個數 ，適合以下兩個條件：
下確界 下確界（i）集E中的一切數 (即 是E的一個下界)；
下確界
下確界
下確界 下確界 下確界
下確界
下確界（ii）對任意給定的正數 ，至少存在一個數 ，使得 （即比 再大一點就不是下界）， 則 叫做E的 下確界，記為 或 . 這裡inf是infimum的縮寫。
下確界 下確界 下確界第一個條件說明 是E的下界之一，而第二個條件說明凡大於 的任何數都不是E的下界。也就是說 是E的 最大下界。
下確界注1 為方便起見，若E無下界，則記 .
下確界
下確界注2 上面的條件（ii）等價於：如果 是E的一個下界，則必有 .
二、常用結論
1. 確界的唯一性定理
定理 設數集有上（下）確界，則這上（下）確界是唯一的。
下確界 下確界
下確界 下確界 下確界 下確界
下確界
下確界證明：採用反證法。假設數集E有兩個不同下確界 和 （ ），顯然， 和 均為E的下界，由上面注2可知 且 ，故 . 與假設相矛盾！證畢。
2. 確界存在定理
定理 有上界的非空數集必有上確界，有下界的非空數集必有下確界。
證明 ：用戴德金分割定理證明。
下確界
下確界戴德金定理：對實數集R的任意一個滿足不空、不漏、不亂的劃分A和B，都存在唯一的一個分點 滿足
記給定非空集為X。取定B為X的所有上界的集合，A=R\B. 下證A、B為不空、不漏、不亂的劃分。
下確界不空：由於X非空，可取 ，易知x-1不可能為X的上界，故A非空。B非空給定；
下確界不漏：由A=R\B知 ；
下確界
下確界
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下確界
下確界
下確界
下確界不亂：設 ，則由 知 不是X的上界，即 ，但又由 是X的上界知 . 綜上， 又 ，矛盾。不亂得證。
下確界
下確界
下確界故存在唯一的一個分點 滿足 下證分點為上確界，即 .
下確界
下確界
下確界
下確界
下確界
下確界 下確界若不然， 不成立，則 ，但此時就有 ，由 知 ，與 是劃分A和B的分點相矛盾。故 .
下確界同理。證畢。
3. 單調有界數列必有極限
定理 單調有界數列必有極限。
下確界
下確界 下確界 下確界 下確界
下確界證明：我們只就單調減少的有界數列予以證明。設 有界，則必有下確界 . 再設 是單調減少的，現在證明 恰好就是 的極限，即 .
下確界
下確界 下確界
下確界
下確界 下確界
下確界
下確界
下確界 下確界由下確界的定義有（i） ；（ii）對任意給定的 ，在 中至少有一數 ，有 . 但由於 是單調減少數列，因此當 時，有 ，從而 . 也就是說，當 時，有
下確界所以
下確界這裡不僅證明了單調有界數列的極限存在，而且也證明了如果它是單調減少的，則極限就是它的下確界。同樣可證單調增加有界數列的極限存在，並且極限就是它的上確界。
