.表示函式序列收斂的Dini定理 ：設 [a,b] R是一有界閉區間 , n∈N,fn∶ [a,b]→R是一連續函式且滿足下述條件 :1 )函式序列 { fn}是單調的 ,即 n∈ N ,fn≤ fn+ 1或 n∈ N ,fn≥ fn+ 1
.2 )函式序列 { fn}在 [a,b]上逐點收斂於一連續函式 f :[a,b]→ R ,
那么函式序列 { fn}在 [a,b]上一致收斂於函式.
證明：
現採用反證法： 假設{Fn(x)}在[a,b]上不一致收斂於f(x)。將區間[a,b]二等分，則在其中一個小區間上，{Fn(x)}不一致收斂於f(x)。因此得到遞縮區間套。擠出唯一點，設為t。任何含有t的足夠小的閉區間，函式列{Fn(x)}都不會一致收斂於f(x)。然而我們下面將證明並非如此。現在考察T點。由於在t點，函式列{Fn(t)}收斂到f(t)，故從足夠大的項N以後，Fn(t)就不超過f(t)的正負c偏差，c是任給的正數。[FN(t)-f(t)]之絕對值<c現在N是跟隨c給定的。考察FN(x)-f(x)這個函式。我們知道FN(x)-f(x)在t點連續，因而對於t點為中心的某個鄰域Q(如果t是端點，則Q是某個半鄰域)，在這個鄰域內，[FN(x)-f(x)]之絕對值仍<c。然而，對於[a,b]上每一點x,因為{Fn(x)}收斂到f(x)，並且{Fn(x)}對每個x都是單調的，那么f(x)必然是Fn(x)的確界，是上確界還是下確界，要看在x點{Fn(x)}是遞增還是遞減。但不管Sup還是Inf，總之只要{Fn(x)}的某一項和f(x)的偏差不超過正負c，則後面的項和f(x)的偏差也不超過正負c。於是，在鄰域Q內，[FN(x)-f(x)]之絕對值<c將推出，所有n>N，[Fn(x)-f(x)]之絕對值<c。這樣，我們就得到了，在t點，有這樣一個開區域Q，在這個區域裡，任何的正數c，存在一個N，只要n>N，就有[Fn(x)-f(x)]之絕對值<c，換句話說，{Fn(x)}在Q內一致收斂到f(x)。而任何含有t的足夠小的閉區間將會是Q的真子集，這樣的閉區間{Fn(x)}又不一致收斂到f(x)。得到矛盾。從而定理得以證明。
表示含參變數的反常積分收斂的Dini定理：設f(x,y)在[a,+∞]×[c,d]上連續且保持定號，
如果含參變數積分:
