內容簡介
《數學分析》(下)為下冊，內容包括數項級數和廣義積分；函式項級數、冪級數、富里埃級數和富里埃變換，多元函式的極限與連續、偏導數和全微分、極值理論、隱函式存在定理與函式相關；含參變數的積分和廣義積分；多變數積分學（重積分、曲線積分、曲面積分和場論初步）。
《數學分析》在復旦大學數學系陳傳璋等編《數學分析》（1979年版）的基礎上，由作者根據近年來的教學實踐作了修訂，這次修訂除了文字上和內容上的刊誤以及改寫了不定積分與定積分的部分內容外，主要是為適應教學需要，調整了部分章節的次序，並把第一版中第十章第8節"向量值函式的導數"作為附錄放在書末。
作者簡介
陳傳璋（Chen Chuanzhang）（1903.4——1989.1.9）誕生於安徽省懷寧縣．復旦大學教授分析、積分方程． 陳傳漳1924至1928年在南京中央大學攻讀數學，受教於我國著名數學家、教育家熊慶來．大學畢業後，他到安徽大學工作兩年．1930年赴法國留學，受業於法國著名數學家弗雷歇(Fréchet)教授，主攻積分方程理論．1935年獲法國理學博士學位．當年即返回祖國，先後在山東大學、重慶大學、(湖南)國立師範學院、湖南大學、暨南大學、大同大學等校任教授，並任國立編譯館責任編輯．1945年抗戰勝利前夕，陳傳璋應邀到(重慶)復旦大學，創辦數理系，任系主任．抗戰勝利後，他隨校遷回上海，任復旦大學理學院代院長兼數理系系主．1952年，全國高等學校院系調整，陳傳璋任調整後的復旦大學數學系系主任，直到1966年．他還曾積極參加籌建上海市數學學會的工作，並任副理事長．同時還任中國數學學會理事．1981年被聘為上海市數學學會顧問． 1956年，他加入了中國共產黨，並長期擔任數學系的黨總支委員．在“文革”中，陳傳璋受到非人待遇和人身迫害．被誣陷為“惡霸地主”、“參加過特務組織’等等．後來被開除了中國共產黨黨籍．在中國共產黨十一屆三中全會後，他得到了平反，恢復了中國共產黨黨籍．於是他重新煥發了工作熱情． 1978年後，陳傳璋恢復中斷了十多年的科學研究工作．他負責的研究課題“積分方程和橢圓型方程的邊值問題”得到中國科學院科學基金的資助，並獲中華人民共和國國家教育委員會1985年科技優秀成果獎．他指導的研究課題“積分方程與偏微分方程函式論方法及其數值求解”得到國家自然科學基金委員會的資助，並獲國家教育委員會1987年科學技術進步獎二等獎． 他勤勤懇懇地從事大量的教學活動，先後講授過《數學分析》、《解析幾何》、《高等代數》、《微分方程》、《複變函數》、《實變函式》、《積分方程》、《變分法》、《奇異積分方程》、《廣義解析函式論》等十多門課程．陳傳璋帶領著青年教師，編寫出版了我國第一部自己編寫的《數學分析》(試用本)教材．以後在試用本教學實踐的基礎上，按加強基礎理論、基礎知識和基本訓練的原則，陳傳璋又組織重新改寫這本教材．在編寫過程中，陳傳璋親自執筆和審校，並注意發揮青年教師的作用．1962年，出版了這部改寫的《數學分析》(第二版)上、下冊．這部教材被國內和香港不少高等學校廣泛採用，並給以充分的肯定和高度的評價． 陳傳璋留學法國的博士論文著重討論了弗雷德霍姆(Fredholm)行列式的階、豫解核的展開等等問題．回國後又作了某些進一步的研究．他是國內研究積分方程理論的先輩之一．50年代，陳傳璋又對馬季歐積分方程的核，貝塞爾函式的級數展開以及核的分解，豫解核的基本性質等做了廣泛的研究．在他的指導下，他的學生線上性、非線性積分方程和奇異積分方程等方面繼續進行研究，取得了較好的成就．1987年，由上海科學技術出版社出版了他及學生們合寫的專著《積分方程論及其套用》一書．這是國內積分方程理論的第一批專門著作之一． 陳傳璋晚年病魔纏身，仍關心著復旦大學數學系的教學、科學研究和培養研究生的工作． 1989年1 月9日中午，陳傳璋終於油於燈滅，走完了他的人生之路，平靜地離開了人間，享年86歲．蘇步青教授給老友送的親筆撰寫的輓聯是： 一代疇人為國為民終盡瘁 多年戰侶亦師亦友更興懷
陳傳漳誕生在安徽省懷寧縣．1924至1928年在南京中央大學攻讀數學，受教於我國著名數學家、教育家熊慶來．大學畢業後，他到安徽大學工作兩年．1930年赴法國留學，受業於法國著名數學家弗雷歇(Fréchet)教授，主攻積分方程理論．1935年獲法國理學博士學位．由於獻身祖國數學教育與科學事業的赤子之心，他學成並遊學歐洲各國後，當年即返回祖國．先後在山東大學、重慶大學、(湖南)國立師範學院、湖南大學、暨南大學、大同大學等校任教授，並任國立編譯館責任編輯．1945年抗戰勝利前夕，陳傳璋應邀到(重慶)復旦大學，創辦數理系，任系主任．抗戰勝利後，他隨校遷回上海，任復旦大學理學院代院長兼數理系系主任．1952年，全國高等學校院系調整，陳傳璋任調整後的復旦大學數學系系主任，直到1966年．他還曾積極參加籌建上海市數學學會的工作，並任副理事長．同時還任中國數學學會理事．1981年被聘為上海市數學學會顧問．
陳傳璋生長在交通不便，信息閉塞的偏僻小城鎮．他7歲喪父．能夠學有所長，全靠自己的努力和奮鬥．他為人正直，無私無畏，在半個多世紀的漫長歲月中，不論環境多么艱難，條件如何困苦，他忠於祖國教育和科學研究事業的信心與決心始終不渝．
抗戰期間，陳傳璋深感民族災難深重，堅持輾轉內地，在很艱苦的環境和條件下，從青島到湖南到重慶，長途跋涉，從不間斷教學和科學研究，積極培養年青一代．在這段時期里，他為商務印書館撰寫的專著《實變函式論》已排成紙版，不幸毀於日寇的戰火．在抗戰時的重慶，他拒絕高官厚祿的誘惑，堅持做教學工作，靠微薄的教授工資，供養全家11口人，過著清貧的生活．他對當時種種現狀深感不滿，曾與童第周教授密約，擬赴敵後直接參加抗日救亡大業，後未成行．1945年抗戰勝利後的上海，陳傳璋橫眉冷對學校當局的反覆上門動員，堅決抵制參加反蘇活動．在上海的反飢餓、反迫害和反內戰運動中，他憤然辭去復旦大學數理系系主任的職務，以示對學生運動的支持和對逮捕進步學生的抗議．他還積極參加當時的反對美軍暴行的愛國集會和簽名抗議、示威遊行等活動．
上海解放後不久，陳傳璋就參加了九三學社，並努力靠攏中國共產黨組織，積極支持學生參加軍事幹部學校和抗美援朝運動．在全國高等學校院系調整工作時和在以後的十多年實際工作中，他總是以大局為重，團結各個方面來的專家學者，為辦好復旦大學數學系，為數學系的建設和發展，為數學人才的培養，做出了很大貢獻．1956年，他加入了中國共產黨，並長期擔任數學系的黨總支委員．
在“文革”中，陳傳璋受到非人待遇和人身迫害．被誣陷為“惡霸地主”、“參加過特務組織’等等．種種惡言毒語鋪天蓋地而來，挨打受罵，參加繁重的“勞動改造”，甚至強迫他跳樓“自絕於人民”．後來被開除了中國共產黨黨籍，並讓他居住在一向陰暗潮濕的小屋裡．他的夫人和子女也受到株連．凡此種種，使他身心受到很大摧殘，健康受到很大影響．當時，他夫人因忍受不了迫害和屈辱，不打算再活下去了．他說服夫人，一起堅忍地等待重見陽光．終於在中國共產黨十一屆三中全會後，他得到了平反，恢復了中國共產黨黨籍．於是他重新煥發了工作熱情．
1978年後，陳傳璋帶著“文化大革命”的累累傷痕，不顧年老體弱多病，再度招收研究生，查文獻，作報告，恢復中斷了十多年的科學研究工作．他一再強調要加快步伐，把耽誤了的10年時間搶回來．他負責的研究課題“積分方程和橢圓型方程的邊值問題”得到中國科學院科學基金的資助，並獲中華人民共和國國家教育委員會1985年科技優秀成果獎．他指導的研究課題“積分方程與偏微分方程函式論方法及其數值求解”得到國家自然科學基金委員會的資助，並獲國家教育委員會1987年科學技術進步獎二等獎．中華人民共和國國家科學技術委員會出版的1987年3月《科學技術研究成果公報》(總第71期)對陳傳璋為首的課題小組的研究成果作了如下評價：“該項成果對線性、非線性積分方程的理論、套用和計算方法的研究，以及對一階、二階和高階橢圓型方程(組)的研究，其內容系統，結果深刻，對推動學科的發展具有重要意義，受到國內外同行學者的普遍好評．這些成果在力學、地球物理等不少實際領域有廣泛的套用．該項成果達到了國際先進水平．”
陳傳璋為人處事，總是以工作、事業為重，嚴於律己，以誠待人，光明磊落，關心和愛護學生，善於團結大家共同前進．他以自己的謙虛謹慎和寬懷大度的品格，豐富的教學與科學研究實踐和嚴謹的治學方法，得到了同行學者和學生們的尊重和愛戴．很多事例給人們留下很深的印象．
陳傳璋的獨子是清華大學1962屆優秀畢業生，學校允許他自己挑選畢業後的工作單位．但陳傳璋和夫人完全不考慮將兒子分配到上海，而是一再教導兒子要聽從黨的安排，到艱苦的地方去鍛鍊、提高．這個孩子在寧夏等地的建設工地工作，長達25年．
1952年全國高等學校院系調整後，不少知名學者、教授調來復旦大學數學系．陳傳璋作為系主任，總是諄諄教導自己的學生，不能搞“山頭”，要尊重各方面來的同行專家，虛心向他們學習，搞好團結．系裡重大問題，他總是首先徵求這些學者、教授的意見；在安排教學任務時，他總是優先考慮其它學校調來的同志．陳傳璋這種顧全大局、增強團結的工作作風，在很多年以後，還為人們津津樂道，推崇不已．
陳傳璋對工作滿腔熱誠，對名譽和地位卻淡泊無求，謙遜無私，知足常樂．復旦大學曾請他出任校秘書長職務，他謝絕了．組織上出於考慮他工作所取得的成就，意欲推薦他為市政協委員，他也提出其他人選供組織考慮．他在多種場合一再表示過，自己能力有限，為人民做的很少，而人民給他的卻很多很多了．這種高尚胸襟，深得學生們的敬仰．
陳傳璋對學生一貫關心和愛護．在重慶時，每逢節日，他總是把學生請到自己家中，既改善一下學生生活，又解學生的思鄉之苦．平時同學生相處亦親似家人．學生病了，他親自看望，還送營養食品．學生們都樂意到他家中交談．
陳傳璋的數學教學活動和科學研究工作，主要有下述三個方面．
(l)堅持基礎課教學，編寫高質量教材．陳傳璋長期擔任數面學系的基礎課教學工作．他勤勤懇懇地從事大量的教學活動，並一貫堅持教學和科學研究的統一，悉心培養年青一代數學工作者．他先後講授過《數學分析》、《解析幾何》、《高等代數》、《微分方程》、《複變函數》、《實變函式》、《積分方程》、《變分法》、《奇異積分方程》、《廣義解析函式論》等十多門課程．還指導過數學系多屆高年級學生的專題討論和畢業論文，並招研究生．受過他教益的學生們都說：陳老師的課講得非常好．半個多世紀的教學生涯，陳傳璋桃李滿天下，學生中人才輩出．許多畢業生在各自的工作崗位上，為建設祖國作貢獻．
1960年初春，復旦大學的教學秩序已經從“大躍進”中復甦，逐步走向正常化．在數學系開展了一個以教學內容現代化為中心的教學改革，取得教學和科研兩方面的顯著成績，編寫出一套具有先進水平的理論聯繫實際的數學、力學教材，撰寫出一大批理論和套用方面的重要研究論文．教材和論文集相繼由上海科學技術出版社出版．1961年，復旦大學數學系成為全國高等教育系統的先進單位，參加了全國群英會．陳傳璋作為系主任，對數學系得到的這一榮譽和成就作出了重要貢獻．在這段時間裡，陳傳璋帶領青年教師，編寫出版了我國第一部自己編寫的《數學分析》(試用本)教材．以後在試用本教學實踐的基礎上，按加強基礎理論、基礎知識和基本訓練的原則，陳傳璋又組織重新改寫這本教材．在編寫過程中，陳傳璋親自執筆和審校，並注意發揮青年教師的作用．1962年，出版了這部改寫的《數學分析》(第二版)上、下冊．這部教材被國內和香港不少高等學校廣泛採用，並給以充分的肯定和高度的評價．
1964年，中央一位領導同志代表黨中央對高等學校的教材建設作了重要指示，提出了許多方向性的意見．高等教育出版社約定復旦大學數學系負責編寫《數學分析簡明教程》，由陳傳璋負責．他領導兩名青年教師進行這項工作．1966年印出了上冊，但隨著“文革”的到來，編寫工作的心血付之東流，書未能正式發行．
粉碎“四人幫”，給瀕於毀滅的高等教育事業帶來了新生和希望．1977年，全國理科數學教材會議確定由復旦大學數學系編出一套《數學分析》教材，陳傳璋再度組織中青年教師，在已有的基礎上重新編寫．顧及到十年動亂對高等教育戰線所造成的惡劣影響，為適應各類高等學校的不同要求和學生的不同水平，在章節安排和內容組織上作了較大的變動和精簡．該書1979年由人民教育出版社出版．1983年作了修訂，又由高等教育出版社出版了《數學分析》(第二版)上、下冊．這部教材被很多理、工科大學和師範院校有關專業採用，受到普遍好評．該書獲得中華人民共和國國家教育委員會1988年高等學校優秀教材一等獎．
(2)關於積分方程理論和套用的研究．陳傳璋留學法國的博士論文，是關於積分方程理論的系統工作．在當時，積分方程理論是一個重要的研究課題，不少著名學者也都致力於這個課題的研究．他的博士論文著重討論了弗雷德霍姆(Fredholm)行列式的階、豫解核的展開等等問題．回國後又作了某些進一步的研究．他是國內研究積分方程理論的先輩之一．
50年代，陳傳璋又對馬季歐積分方程的核，貝塞爾函式的級數展開以及核的分解，豫解核的基本性質等做了廣泛的研究．在他的指導下，他的學生線上性、非線性積分方程和奇異積分方程等方面繼續進行研究，取得了較好的成就．
陳傳璋虛心學習蘇聯的先進科學，把蘇聯有關積分方程和奇異積分方程的研究成果介紹到國內．他自學俄文，翻譯出版了《高等數學教程》四卷一分冊(內容是積分方程和變分法)和《積分方程及其套用》等書，還組織學生翻譯出版了《多維奇異積分方程和積分方程》．這對把蘇聯學者的專著引進到國內，起了很好的作用．
1987年，由上海科學技術出版社出版了他及學生們合寫的專著《積分方程論及其套用》一書．這是國內積分方程理論的第一批專門著作之一．書一出版就銷售一空．陳傳璋親自撰寫了該書其中的部分章節，並仔細審閱了全稿．該書既含有積分方程的基本理論，又有某些最新成果；既有國外學者的結果，又有作者自己的研究心得．不少高等理、工科大學和師範院校的有關專業採用此書作為高年級學生和研究生的教材，反映甚好．在他的關懷和指導下，他的學生撰寫的專著《奇異積分方程論及其套用》也已出版．
在十年浩劫中，陳傳璋儘管處境困難，但他和他的學生還是想盡辦法把過去從事科學研究的資料儘可能地保存下來，相信有朝一日總會繼續進行這方面的研究工作的．粉碎“四人幫”後的第二年，當時年逾七旬的陳傳璋的“政治問題”還未平反，但他仍主動地帶領學生聯繫和承擔了某部隊進行的一個科學研究項目中有關積分方程實際套用的課題，從理論分析到數值計算方案作了完整的闡述．1978年最後完成了這項實際套用研究，得到有關部門的肯定和讚揚．
(3)廣義解析函式論及邊值問題的研究．陳傳璋一貫地虛心學習國外的先進科學，一查到好的文獻資料，一發現有意義的課題方向，就立即介紹給學生，並在教師討論班上作報告，同時開展進一步的研究．1959年起，他指導學生學習了蘇聯著名學者所創的“喬治亞學派”關於解析函式和廣義解析函式論、邊值問題的求解及其在彈性力學、板殼理論方面的套用的研究成果．並組織學生翻譯出版了蘇聯學者的專著《橢圓型方程新解法》(比美國翻譯此書早了五年)．同時開始研究利用積分方程理論來探討廣義解析函式的性質及其若干邊值問題的求解方法以及某些推廣．陳傳璋和他學生合寫了學術論文《一階橢圓型方程組的黎曼-哈斯曼邊值問題》，《積分運算元T(n)f的性質與套用》．前者是國內研究廣義解析函式帶有位移的邊值問題理論的第一篇論文，後者所引進的運算元對於研究二階和高階橢圓型方程組邊值問題，有著重要的作用，它是對廣義解析函式論的一個重要推廣．在陳傳璋指導下，他的學生們在一階、二階和高階線性、擬線性和非線性橢圓型方程組的各種重要的線性與非線性邊值問題的求解等方面，開展了大量的系統研究，取得了優秀的成果，並撰寫出版了專著《橢圓型方程組及邊值問題》一書．在他們的影響下，有不少單位和學者在從事這方面的深入和廣泛的研究，成果纍纍．陳傳璋是國內研究一階橢圓型方程組理論和邊值問題的一位奠基人．
陳傳璋在年逾七旬，體弱多病的情況下，又致力於學習西方的先進科學．在教師討論班上，親自介紹美國學者在偏微分方程函式論方法等方面的重要工作，並組織翻譯了一本代表性著作《偏微分方程的函式論方法》．此書由高等教育出版社於1984年出版．
1978年，陳傳璋考慮到，由於十年動亂的影響，國內在積分方程與偏微分方程邊值問題等方面的研究力量急需凝集起來，加強學術交流，取長補短，互相促進，共同提高，儘快趕上國際先進水平．因此，趁一個全國學術會議在滬舉行的機會，親赴會議所在地，找了一些同行學者，商談並倡議召開全國性的有關積分方程與邊值問題學術會議，組織隊伍，開展研究．這個倡議得到了中國數學學會的大力支持．這個全國性學術會議自1979年開始已召開了六次，出了會議文集，在國內外都有好的反映．其中的第六次會議還擴大為國際性學術會議，有美國、蘇聯、德國和波蘭等國知名學者、教授前來參加會議，進行交流．
陳傳璋性格開朗、豁達，業餘興趣廣泛：填詞作詩，練書法，聽京劇、讀歷史小說等等，無不愛好．
陳傳璋晚年病魔纏身，仍關心著復旦大學數學系的教學、科學研究和培養研究生的工作．曾多次“病危”，但都被他以頑強的意志挺過來了，一次次地戰勝了死神．自然規律畢竟不可抗拒，在復旦大學數學系慶賀他執教60年暨85歲壽辰後不到半年，1989年1 月9日中午，陳傳璋終於油於燈滅，走完了他的人生之路，平靜地離開了人間，享年86歲．正是：
正氣一生永作師表桃李揮淚承遺志，
無私二字堪為楷模同仁痛悼寄哀思．
目錄
第三篇 級數論
第一部分 數項級數和廣義積分
第九章 數項級數
§1.預備知識：上極限和下極限
習題
§2.級數的收斂性及其基本性質
習題
§3.正項級數
習題
§4.任意項級數
一.絕對收斂級數
二.交錯級數
三.阿貝爾(Abel)判別法和狄立克萊判別法
習題
§5.絕對收斂級數和條件收斂級數的性質
習題
§6.無窮乘積
習題
第十章 廣義積分
§1.無窮限的廣義積分
一.無窮限廣義積分的概念
二.無窮限廣義積分和數項級數的關係
三.無窮限廣義積分的收斂性判別法
四.阿貝爾判別法和狄立克萊判別法
習題
§2.無界函式的廣義積分
一.無界函式廣義積分的概念,柯西判別法
二.阿貝爾判別法和狄立克萊判別法
習題
第二部分函式項級數
第十一章 函式項級數.冪級數
§1.函式項級數的一致收斂
一.函式項級數的概念
二.一致收斂的定義
三.一致收斂級數的性質
四.一致收斂級數的判別法
習題
§2.冪級數
一.收斂半徑
二.冪級數的性質
三.函式的冪級數展開
習題
§3.逼近定理
習題
第十二章 富里埃級數和富里埃變換
§1.富里埃級數
一.富里埃級數的引進
二.三角函式系的正交性
三.富里埃係數
四.狄立克萊積分
五.黎曼引理
六.狄尼(Dini)判別法及其推論
七.狄立克萊-約當判別法
八.富里埃級數的一致收斂性
九.函式的富里埃級數展開
十.周期為了的函式的展開
十一.富里埃級數的複數形式
十二.富里埃級數的逐項求積與逐項求導
習題
§2.富里埃變換
一.富里埃變換的概念
二.富里埃變換的一些性質
習題
第四篇 多變數微積分學
第一部分多元函式的極限論
第十三章 多元函式的極限與連續
§1.平麵點集
一.鄰域.點列的極限
二.開集.閉集.區域
三.平麵點集的幾個基本定理
習題
§2.多元函式的極限和連續性
一.多元函式的概念
二.二元函式的極限
三.二元函式的連續性
四.有界閉區域上連續函式的性質
五.二重極限和二次極限
習題
第二部分多變數微分學
第十四章 偏導數和全微分
§1.偏導數和全微分的概念
一.偏導數的定義
二.全微分的定義
三.高階偏導數與高階全微分
習題
§2.求複合函式偏導數的鏈式法則
習題
§3.由方程(組)所確定的函式的求導法
一.一個方程F(x,y,z)=0的情形
二.方程組的情形
習題
§4.空間曲線的切線與法平面
習題
§5.曲面的切平面與法線
習題
§6.方嚮導數和梯度
一.方嚮導數
二.梯度
習題
§7.泰勒公式
習題
第十五章 極值和條件極值
§1.極值和最小二乘法
一.極值
二.最小二乘法
習題
§2.條件極值
習題
第十六章 隱函式存在定理.函式相關
§1.隱函式存在定理
一.F(x,y)=0情形
二.多變數及方程組情形
習題
§2.函式行列式的性質.函式相關
一.函式行列式的性質
二.函式相關
習題
第三部分含參變數的積分和廣義積分
第十七章 含參變數的積分
習題
第十八章 含參變數的廣義積分
一.一致收斂的定義
二.一致收斂積分的判別法
三.一致收斂積分的性質
四.歐拉(Euler)積分
五.阿貝爾判別法.狄立克萊判別法
習題
第四部分多變數積分學
第十九章 積分(二重.三重積分,第一類曲線.曲面積分)的定義和性質
§1.二重積分.三重積分.第一類曲線積分.第一類曲面積分的概念
§2.積分的性質
習題
第二十章 重積分的計算及套用
§1.二重積分的計算
一.化二重積分為二次積分
二.用極坐標計算二重積分
三.二重積分的一般變數替換
習題
§2.三重積分的計算
一.化三重積分為三次積分
二.三重積分的變數替換
習題
§3.積分在物理上的套用
一.質心
二.矩
三.引力
習題
§4.廣義重積分
習題
第二十一章 曲線積分和曲面積分的計算
§1.第一類曲線積分的計算
習題
§2.第一類曲面積分的計算
一.曲面的面積
二.化第一類曲面積分為二重積分
習題
§3.第二類曲線積分
一.變力作功與第二類曲線積分的定義
二.第二類曲線積分的計算
三.兩類曲線積分的聯繫
習題
§4.第二類曲面積分
一.曲面的側的概念
二.第二類曲面積分的定義
三.兩類曲面積分的聯繫及第二類曲面積分的計算
習題
第二十二章 各種積分間的聯繫和場論初步
§1.各種積分間的聯繫
一.格林(Green)公式
二.高斯(Gauss)公式
三.斯托克司(Stokes)公式
習題
§2.曲線積分和路徑的無關性
習題
§3.場論初步
一.場的概念
二.向量場的散度與旋度
三.保守場
四.運算元
習題
附錄向量值函式的導數
索引
