人物介紹
亨利·勒貝格（Henri Léon Lebesgue)
1875年6月28日生於法國的博韋；1941年7月26日卒於巴黎．數學．
勒貝格的父親是一名印刷廠職工，酷愛讀書，很有教養．在父親的影響下，勒貝格從小勤奮好學，成績優秀，特別擅長計算．不幸，父親去世過早，家境衰落．在學校老師的幫助下進入中學，後又轉學巴黎．1894年考入高等師範學校．
1897年大學畢業後，勒貝格在該校圖書館工作了兩年．在這期間，出版了E．波萊爾(Borel)關於點集測度的新方法的《函數論講義》(Lecons sur la théorie des functions 1898)，特別是研究生R．貝爾(Baire)發表了關於不連續實變函式理論的第一篇論文．這些成功的研究工作說明在這些嶄新的領域中進行開拓將會獲得何等重要的成就，從而激發了勒貝格的熱情．從1899年到1902年勒貝格在南錫的一所中學任教，雖然工作繁忙，但仍孜孜不倦地研究實變函式理論，並於1902年發表了博士論文“積分、長度、面積”(Intégrale，longueur，aire)．在這篇文章中，勒貝格創立了後來以他的名字命名的積分理論．此後，他開始在大學任教(1902—1906在雷恩；1906—1910在普瓦蒂埃)，在此期間，他進一步出版了一些重要著作：《積分法和原函式分析的講義》(Leconssur l‘intégration et la recherche des fonctions primitives，1904)；《三角級數講義》(Lecons sur les séries trigonométriques，1906)．接著，勒貝格又於1910—1919年在巴黎(韶邦)大學擔任講師，1920年轉聘為教授，這時他又陸續發表了許多關於函式的微分、積分理論的研究成果．勒貝格於1921年獲得法蘭西學院教授稱號，翌年作為C．若爾當(Jordan)的後繼人被選為巴黎科學院院士．
個人成就
勒貝格對數學的主要貢獻屬於積分論領域，這是實變函式理論的中心課題．19世紀以來，微積分開始進入嚴密化的階段．1854年B．黎曼(Riemann)引入了以他的名字命名的積分，這一理論的套用範圍主要是連續的函式．隨著K．魏爾斯特拉斯(Weier-strass)和G．康托爾(Cantor)工作的問世，在數學中出現了許多“奇怪”的函式與現象，致使黎曼積分理論暴露出較大的局限性．幾乎與這一理論發展的同時(1870—1880年)，人們就已經開展了對積分理論的改造工作．當時，關於積分論的工作主要集中於無窮集合性質的探討，而無處稠密的集合具有正的外“容度”性質的發現，使集合的測度概念在積分論的研究中占有重要地位．積分的幾何意義是曲線圍成的面積，黎曼積分的定義是建立在對區間長度的分割的基礎上的．因此，人們自然會考慮到如何把長度、面積等概念擴充到更廣泛的集合類上，從而把積分概念置於集合測度理論的框架之中．這一思想的重要性在於使人們認識到：集合的測度與可測性的推廣將意味著函式的積分與可積性的推廣．勒貝格積分正是建立在勒貝格測度理論的基礎上的，它是黎曼積分的擴充．
為勒貝格積分理論的創立作出重要貢獻的首先應推若爾當，他在《分析教程》(Cours d’analyse，1893)一書中闡述了後人稱謂的若爾當測度論，並討論了定義在有界若爾當可測集上的函式，採用把定義域分割為有限個若爾當可測集的辦法來定義積分．雖然若爾當的測度論存在著嚴重的缺陷(例如存在著不可測的開集，有理數集不可測等)，而且積分理論也並沒有作出實質性的推廣，但這一工作極大地影響著勒貝格研究的視野．在這一方向上邁出第二步的傑出人物是波萊爾，1898年在他的《函式論講義》中向人們展示了“波萊爾集”的理論．他從R1中開集是構成區間的長度總和出發，允許對可列個開集作並與補的運算，構成了所謂以波萊爾可測集為元素的σ代數類，並在其上定義了測度．這一成果的要點是使測度具備完全可加性(若爾當測度只具備有限可加性)，即對一列互不相交的波萊爾集，若其並集是有界的，則其並集的測度等於每個En的測度的和．此外，他還指出，集合的測度和可測性是兩個不同的概念．但在波萊爾的測度思想中，卻存在著不是波萊爾集的若爾當可測集(這一點很可能是使他沒有進一步開創積分理論的原因之一)．特別是其中存在著零測度的稠密集，引起了一些數學家的不快．然而勒貝格卻洞察了這一思想的深刻意義並接受了它．他突破了若爾當對集合測度的定義中所作的有限覆蓋的限制，以更加一般的形式發展和完善了波萊爾的測度觀念，給予了集合測度的分析定義：設E [a，b]，考慮可數多個區間對E作覆蓋．定義數值
m*(E)+m*([a，b]＼E)=b-a，
則稱E為可測集(即E是勒貝格可測的)．在此基礎上，勒貝格引入了新的積分定義：對於一個定義在[a，b]上的有界實值函式f(x)(m≤f(x)≤M)，作[m，M]的分割△：
m=y0＜y1＜…＜yn-1＜yn=M．
令
Ei={x∈[a，b]:yi-1≤f(x)≤yi}，(i=1，2，…n)
並假定這些集合是可測的(即f(x)是勒貝格可測函式)．考慮和式
如果當max→0時，s△與S△趨於同一極限值，則稱此值為f(x)在[a，b]上的積分，勒貝格曾對他的這一積分思想作過一個生動有趣的描述：“我必須償還一筆錢．如果我從口袋中隨意地摸出來各種不同面值的鈔票，逐一地還給債主直到全部還清，這就是黎曼積分；不過，我還有另外一種作法，就是把錢全部拿出來並把相同面值的鈔票放在一起，然後再一起付給應還的數目，這就是我的積分”．在他的這一新概念中，凡若爾當可測集，波萊爾可測集都是勒貝格可測集．勒貝格積分的範圍包括了由貝爾引入的一切不連續函式．
從數學發展的歷史角度看，新的積分理論的建立是水到渠成的事情．但是可貴的是，與同時代的一些數學家不同，在勒貝格看來，積分定義的推廣只是他對積分理論研究的出發點，他深刻地認識到，在這一理論中蘊含著一種新的分析工具，使人們能在相當大範圍內克服黎曼積分中產生的許多理論困難．而正是這些困難所引起的問題是促使勒貝格獲得這一巨大成就的動力．
這方面的第一個問題是早在19世紀初期由J．傅立葉(Fou-rier)在關於三角級數的工作中不自覺地引發的：當一個有界函式可以表示為一個三角級數時，該級數是它的傅立葉級數嗎？這一問題與一個無窮級數是否可以逐項積分有著密切的關係．傅立葉當時曾認為在其和為有界函式時這一運算是正確的，從而給上述問題以肯定的回答．然而到了19世紀末期，人們認識到逐項積分並不總是可行的，甚至對於黎曼可積函式的一致有界的級數也是這樣，因為由該級數所表示的函式不一定是黎曼可積的．這個問題的討論促使勒貝格在新的積分理論中獲得了一個十分重要的結果：控制收斂定理．作為一個特殊情形他指出，勒貝格可積的一致有界級數都可以逐項進行積分，從而支持了傅立葉的判斷．逐項積分在本質上就是積分號下取極限的問題，它是積分論中經常遇到的最重要的運算之一．從而這一定理的創立顯示出勒貝格積分理論的極大優越性．
