Montmort配對

概述

Montmort配對

若I是一個 有界的區間，則I的長度定義為它的兩個端點的距離，記為l（I）；若I是一個無界區間，則定義I的長度為∞，也記成l（I）。
這樣，
l（【0，1】） ＝ l（（0，1）） ＝ 1，
l（（－∞，0）） ＝ ∞， l（【1，＋∞】）。
我們的目的是希望把上述僅對區間有定義的長度概念推廣到更一般的實數集上去。例如我們把它推廣到了一個由實數子集構成的集族Ω，並且對Ω中每一元E（這是一個實數子集），我們用m（E）表示E的“長度”。此時很自然，我們希望Ω滿足下面三個條件：
（Ω1）所有區間都是Ω中的元；
（Ω2）若E∈Ω，則Ec ＝R － E ∈ Ω；
（Ω3）Ω中任意至多可數個元的並是Ω中的元。
而對m，我們希望它滿足下面三個條件：
（m1）對每一E∈Ω，m（E）是一個非負廣義實數，即m（E）或者是一個非負實數，或者是∞；
（m2）對每一區間I，m（I）＝ l（I）；
（m3）若n>=1是Ω中任何一列兩兩不相交的元，則m（U∞n=1 En） ＝ ∑∞n=1 m(En).
對一般的n維歐氏空間有類似的問題。下面我們來進行這一推廣。

推廣套用

對每一個子集E，定義
m* (E) = inf{∑n l(I n):{I n} n >= 1是一列開區間並且E包含於U n I n }。
此時m* (E)稱為E的Lebesgue外測度。由於實數全體R是一個開區間並且E包含於R，所以上述定義是合理的，並且m* (E)是一個非負廣義實數。