定義
在平面直角坐標系中,如果直線L經過點A 和B ,其中x1≠x2,那么 是L的一個方向向量,於是直線L的斜率 ,再由k=tanα(0≤α<π),可求出直線L的傾斜角α.記tanα=k,方程叫做直線的點斜式方程,其中是直線上一點。
套用
直線方程一般有以下八種描述方式:點斜式、截距式、兩點式、一般式、斜截式、法線式、點向式、法向式。其中點斜式適用於k≠0,直線不垂直於x軸的情況。
點斜式方程普遍用於導數當中,用已知切線上一點和曲線方程的導數(方程上某點切線的斜率)求切線方程時用。適用於知道一個點的坐標和直線斜率,求直線方程的題目。
y-y=k(x-x)
當直線與x軸垂直時,k不存在時,直線可表示為
當直線與y軸垂直時,k=0時,直線可表示為
局限性:當α為π/2即直線與X軸垂直時,tanα無意義,不存在點斜式方程。
推導
若直線經過點,且斜率為k,求L1方程。
設點P(x,y)是直線上不同於點P1的任意一點,直線的斜率應等與直線的斜率,根據經過兩點的直線的斜率公式得
所以,直線:
說明:
(1)這個方程是由直線上一點和斜率確定的,這一點必須在直線上,否則點斜式方程不成立;
(2)當直線的傾斜角為0°時,直線方程為;
(3)當直線傾斜角為90°時,直線沒有斜率,它的方程不能用點斜式表示,這時直線方程為。
方程用途
開始學習時通常是求兩條斜率不相等(非平行)的直線的交點,接著是與拋物線的交點,通過點斜式方程代入拋物線方程,求出交點的個數和坐標。還有平面解析幾何,比如橢圓、圓、雙曲線、拋物線等圓錐曲線問題解決的固定套路,方程聯立的時候就習慣用點斜式。
在求曲線切線方程中,一般會告訴切點和曲線方程。這時利用導數公式可求出切線斜率k,利用點斜式可以表示此直線方程。
另外,有時題目會告訴曲線外一點(a,b)和曲線方程,這時只需設切點坐標A(x,y),利用導數公式求出導數的表達式M,再使即可求出切點A的坐標。利用點斜式可將方程表示出來。