差分格式

數值計算方法中微分以及偏微分導數的一種離散化方法，即用相鄰兩個或者多個數值點的差分取代偏微分方程中導數或者偏導數的一種算法。 選擇差分格式是離散化偏微分方程的第一步。

3.3.3.1 差分格式
單元面上變數值的計算方式會對計算精度及收斂性（數值穩定性）產生深刻的影響。在充分可壓縮流動情況下，考慮關於對流輸運或面密度的面值估算時，以上所述就顯得極為重要。就對流而言，其背後的原因是關於二階精度線性插值離散的基本問題。也就是說，當插值套用於不夠精細數值格線，可能產生非物理振盪和無界變數值（例如不能為負值的變數可能出現負值）。討論差分格式（精度，守恆性，對流穩定性及有界性）的理想特性，除此之外，包括Peric（1985）及Gaskell和Laura（1988）。除了包括“標準”差分格式—迎風格式（UDS）和中心差分格式（CDS），AVL CFD求解器提供兩種有界格式：MINMOD和AVL SMART。
迎風和中心差分格式。線性插值（相當於中心差分格式，CDS）可給定標量 的面值：
（132）
為方程（130）中所定義的插值因子。正如所提到那樣，CDS會產生數值振盪並獲得無界且非單調的解。一個著名的修正方法是採用（一階精度）迎風格式（UDS），即面 的值採取“迎風”節點值，從而：
（133）
其中 是流經面 質量流率。UDS無條件有界（單調）但會產生過剩的數值擴散，特別是如果流動不與格線線成一條線時。
一個更為完善的方法是將CDS格式與UDS格式中的成分混合起來。為了便於這種方法的執行，我們一個定義“流動方向（floworientated）”的插值因子，比如，對於面 可給出：
（134）
方程（132）重新整理為：
（135）
上述混合格式的第二部分就是CDS和UDS成分之間（乘以混合因子 ）的差異所在。當混合因子的特值套用於整個區域，以上通量混合格式既簡單又有效。然而，混合因子取決於格線劃分及僅對於充分細格線， （例如 0.9）可取很高的數值，這樣不會破壞二階精度。
小於1的混合因子引入一定的數值擴散量，以確保收斂且有界的求解方案。這種擴散可以通過設定不同標準來控制，用於數值求解計算有界性。兩類邊界標準，一個基於總變差衰減概念（TVD），Harten，1983；Sweby，1984；另一個基於對流邊界標準（CBC），Gaskell和Laura（1988），為高階（迎風）邊界格式的構建提供極大的靈活性。
高階迎風格式和NVD
高階迎風格式通常是沿局部坐標，基於結構格線來構建，通過上游（ ），中心（ ）和下游（ ）計算節點。對於任意非結構格線，上游節點是未知的。然而，一個虛構的上游單元 可按照矢量特性 定義，在 和 之間的虛擬面距離 是相同的，如同考慮面 一樣。
圖3-3：上游（ ），中心（ ）及下游（ ）節點的定義
在 附近的泰勒級數展開式用來得到關於 在 ， 及 的三個方程。當對 求解這些方程（Gaskell和Laura，1988，在一致且正交格線情況下），可獲得通用的加權近似方程：
（136）
參數 定義了二階和三階精度格式的族系：
Leonard（1979）的關於對流運動學的三階精度二次迎風插值（QUICK），
Warming和Beam（1976）的二階精度線性迎風差分格式（LUDS）。
取代無量綱變數 的套用，採用標準化變數 更為便利，由Leonard於1988年提出：
（137）
這樣 及 。引入限制原理：
（138）
方程（136）可簡化為：
（139）
其中 是關於 的函式：
（140）
可解釋成通量限制項。
用標準化形式表示的格式圖解表述採取“標準化變數圖表”（NVD）。此圖描述 與 ，如圖3-4所示。
TVD和CBC格式—MINMOD及SMART
根據標準化變數，TVD約束可表示成：
和 ，如果 ，
如果 或 （141）
有界問題的物理解釋引導Gaskell和Laura提出了以下的有界約束：
和 ，如果 ，
如果 或 （142）
從TVD和CBC條件的圖解表述（參考圖3-4），單元面值 應當處於單調範圍 的陰影面積區域，及 的直線（單調範圍之外）。
圖3-4：TVD（左）和CBC（右）標準的圖解表述及相同約束格式的NVD特性
請注意TVD—派生約束比CBC約束更為嚴格。很明顯，NVD圖表（CDS，LUDS及QUICK）中關於線性特性的簡單格式可能違背邊界標準（除了一階UDS）並採用非線性或分段線性格式的某種形式。
壓縮流動求解器中採用各種迎風TVD格式以捕獲衝擊振動。這些格式可按照方程（139）所給的形式表述，其中通量限制項 可限制變數通量達到一定程度以保證有界求解。在不同限制項中（參考Sweby，1984），Roe’s MINMOD限制項是在單調範圍內LUDS和CDS格式分段組合產物。Gaskell和Laura（1988）提出了SMART格式（針對於真實輸運的單調算法），很大部分單調範圍內與QUICK格式相一致。對兩種有界格式的相應的限制項可寫成：
（143）
Gaskell和Laura為 係數推薦以下數值：
=2（對於非一致性格線而言， ）和 =1。這些簡單而有界的格式NVD特性呈現在圖3-4中。基於穩態基準測試，我們得出結論： （AVL SMART）的SMART格式比原先的SMART具有更好的收斂特性。只是會略微降低精度，但改善的收斂性通常更為有益。利用相似原理，我們建議採用MINMOD格式，尤其是對於穩態情況。
比SMART格式的變數更具擴散性（精度更低），但仍具有良好的收斂性且針對細化數值格線可提供二階精度。