motion,stabilityof
物體或系統在外干擾的作用下偏離其運動後返回該運動的性質。若逐漸返回原運動則稱此運動是穩定的,否則就是不穩定的。對任何運動,外干擾都是經常存在的,因此可以說,物體或系統的某一運動的穩定性就是它的存在性,只有穩定的運動才能存在。在工程技術上,要使設計對象的某些運動能夠實現,那些運動必須是穩定的。運動是一切事物的變化過程,所以研究運動的穩定性,涉及所有科學技術領域,包括社會科學。1892年俄國數學家A.M.李亞普諾夫開創了運動穩定性研究的新紀元。他提出解決運動穩定性問題的兩個方法:第一,是通過求解系統的微分方程分析運動的穩定性;第二,(直接法)是定性的方法,它不需求解微分方程,而是尋求具有某些性質的函式(稱李亞普諾夫函式),使這些函式與微分方程相聯繫,就可控制積分軌線的動向。李亞普諾夫第二方法是目前解決運動穩定性問題的基本方法,已在套用數學、陀螺力學、自動控制、航空航天等領域廣泛套用。當今,如不作說明,運動穩定性常被理解為李亞普諾夫穩定性。
線性系統的穩定性有3種:穩定、臨界情況和不穩定,它們分別對應於李亞普諾夫意義下的漸近穩定、穩定和不穩定。線性系統有以下兩個常見的數學模型:①高階微分方程


定常非線性系統的穩定性設n維定常非線性系統的運動由向量微分方程





李亞普諾夫穩定性定義有穩定、漸近穩定、不穩定3種類別。①設系統由向量微分方程

李亞普諾夫建立了關於漸近穩定、穩定和不穩定的定理,從而奠定了穩定性理論的基礎。後來被補充了很多新定理,如關於全局穩定的定理等。李亞普諾夫穩定性定理已成為解決非線性系統穩定性的重要理論和方法並被普遍地套用,通稱李亞普諾夫方法或v函式法。但其套用強烈地依賴於(t)的構造,而這正是一個十分困難的問題。
李亞普諾夫函式用以證明穩定性所構造的滿足穩定性定理的函式,泛稱李氏函式或v函式。每一個系統都需構造自己的李氏函式,才能確定其穩定性。最簡單最常用的是二次齊次式形式的v函式。
李亞普諾夫第一近似理論利用一次近似判別非線性系統零解穩定性的理論。在原點將系統方程展開為正整冪級數:


