概念
通常拓撲通常拓撲(usual topology)是一類特殊的拓撲。設R 為n維歐幾里得空間，XR。R 中按歐幾里得空間的度量確定的拓撲在X上的相對拓撲稱為X上的通常拓撲。當X=R 時，X上的通常拓撲滿足一切分離公理，是σ緊、林德勒夫、局部緊、可分、第一可數、第二可數、仿緊、亞緊、全體正規、連通、道路連通、局部連通空間。但不是緊、可數緊、序列緊、偽緊、零維空間。
拓撲
拓撲是集合上的一種結構。設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：
1.X與空集都屬於T；
2.T中任意兩個成員的交屬於T；
3.T中任意多個成員的並屬於T；
則T稱為X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T)。
通常拓撲設T與T為集合X上的兩個拓撲。若有關係TT，則稱T粗於T，或T細於T。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時，則稱它們是不可比較的。在集合X上，離散拓撲是最細的拓撲，平凡拓撲是最粗的拓撲。
歐幾里得空間
簡稱歐氏空間。既是幾何學的研究對象，又是代數學的研究對象。在幾何學中，歐氏空間是滿足全部歐幾里得公理的幾何空間。它的幾何是研究幾何圖形的度量性質和度量不變數的歐幾里得幾何(簡稱歐氏幾何)，包括普通平面幾何和立體幾何的全部理論。
歐氏幾何空間按維數的不同而有一維歐氏空間(即歐氏直線)、二維歐氏空間(即歐氏平面)和三維歐氏空間(即普通空間，在幾何學中也常簡稱歐氏空間)。在代數學中，歐氏空間是實數域上的一個線性空間，在其中規定了一個稱為內積的二元實函式。歐氏線性空間的維數可以是任意的自然數。容易在同維數的歐氏幾何空間與歐氏線性空間之間建立直接的聯繫。在歐氏幾何空間中取定一點作為公共的起點，空間每一點就決定一個以該點作為終點的向量.這種向量的全體構成的集合在向量加法和數乘向量的乘法下就是一個線性空間.再以通常向量的數量積作為線性空間中向量的內積，這個線性空間就是一個歐氏線性空間.反之，線上性空間取定基底後，n維線性空間中的向量可以用n元數組作為坐標表示，再把n維歐氏線性空間的向量的坐標看做n維歐氏幾何空間中建立了直角坐標系後點的坐標，這樣就在n維歐氏線性空間的向量和n維歐氏幾何空間的點之間建立了一一對應，並且當取後者的坐標原點作為公共的起點，由後者的每個點作為終點所決定的向量，其坐標正好與前者的對應向量的坐標相同，由其數量積所確定的歐氏線性空間，也與前者完全合一。
總之，按照以上的討論，在同維數的幾何空間和歐氏線性空間之間可以建立一一對應，並在此對應下保持著各自的幾何、代數結構。這也是將後來發展的代數體系與先發展的幾何體系取同一名稱——歐幾里得空間的原因。
性質
分離公理
亦稱分離公理模式、子集公理、子集公理模式。集合論的一條重要公理。由策梅洛(Zermelo，E.F.F.)於1908年提出。該公理斷言：如果φ是帶參變元P的性質，則對任何集合X和P，都存在集合Y={u|u∈X∧φ(u，P)}，它含有X中所有性質φ的元素。這條公理可形式化為：
通常拓撲其中，P亦可以是參變元組P=〈P，P，…，P〉。如果記具有性質φ(u，P，P，…，P)的類為A，利用交的定義可將公理寫成下面的形式：
通常拓撲它的意義是類與任何集合的交是集合。由集合組成的非空類A的交∩A是集合等。分離公理的另一推論是全類V是真類，否則{x|x∈V∧x∉ x}就會是集合.由於公式φ(u，P)有無窮多個，對於每個具體的φ(u，P)都將得到一條公理，故分離公理實質上是一個公理模式，它包含了無窮多條公理。策梅洛的這條公理形象地刻畫了從已給集合按一定的限制(性質)可分離出它的子集這一性質。策梅洛用分離公理代替弗倫克爾(Fraenkel，A.A.)的替換公理後得到的公理體系稱為策梅洛集合論。它比ZF弱。例如在ZF中能證明集{ω，P(ω)，P(P(ω))，…}的存在性，而在策梅洛集合論中卻不能，這裡ω為自然數集。
局部緊
分離的拓撲空間E稱為是局部緊的，如果E的任一點有緊鄰域。任一緊空間是局部緊的。任一離散的拓撲空間是局部緊的，但如果它是無窮的，則不是緊的。數軸是局部緊的，但不是緊的。有理數軸不是局部緊的。
為使局部緊空間的一個子集為局部緊的，必須且只須它是一個開集同一個閉集的交。特別，局部緊空間的所有開集、所有閉集都是局部緊的。
有限個局部緊空間的積是局部緊的。
為使賦范向量空間是局部緊的，必須且只須它是有限維的。
仿緊空間
一類重要的拓撲空間。為了討論拓撲空間的可度量化問題，迪厄多內(Dieudonné，J.)於1944年引入仿緊空間的概念。設X為拓撲空間。若X的任意開覆蓋都有局部有限的開覆蓋加細，則稱X為仿緊空間。緊空間是仿緊空間。度量空間也是仿緊空間。反之未必成立.仿緊空間是緊空間的一種最重要的推廣。對於這一類空間的研究，不僅從內容上推廣了緊空間理論，而且較大地發展了覆蓋方法，有力地推動了一般拓撲學的發展，特別是廣義度量空間理論和度量化問題的廣泛進展。另外，仿緊空間在微分流形、代數拓撲和泛函分析中也有重要的套用。仿緊性具有閉遺傳性。仿緊T空間的閉連續像是仿緊T的。仿緊T空間是全體正規空間.全體正規空間是仿緊空間。仿緊T空間中的F集是仿緊的。在完全映射下，仿緊空間的原像是仿緊的。仿緊空間是亞緊的、可數仿緊的、族正規的。可數緊的仿緊空間是緊空間。林德勒夫空間是仿緊的。斯通(Stone，A.H.)於1948年、麥可(Michael，E.)於1953年給出了仿緊性的幾個等價條件。森田紀一(Morita，K.)和玉野(Tamano，H.)於1960—1962年也分別給出了幾個等價條件。
