強拓撲

強拓撲是一種拓撲。局部凸空間X中原有的拓撲,相對於弱拓撲σ(X,X)稱為X的強拓撲。例如賦范線性空間的強拓撲即為範數拓撲。 部凸空間是最重要的一類拓撲線性空間。設E是拓撲線性空間,如果E中存在由均衡凸集組成的零元的鄰域基,就稱E是局部凸的拓撲線性空間,簡稱局部凸空間,而E的拓撲稱為局部凸拓撲。

概念

強拓撲(strong topology)是一種拓撲。局部凸空間X中原有的拓撲,相對於弱拓撲σ(X,X)稱為X的強拓撲。例如賦范線性空間的強拓撲即為範數拓撲。對於共軛空間X,記B為X中有界子集全體,對每個有界子集B∈B,定義半範數:

強拓撲 強拓撲

則由半範數族{P(·)|B∈B}確定的X中的局部凸拓撲稱為X的強拓撲,記為β(X,X).X的強拓撲強於弱*拓撲σ(X,X).當X為賦范線性空間時,X的強拓撲就是由有界線性泛函的範數導出的拓撲。

弱拓撲

弱拓撲(weak topology)是一種局部凸拓撲。設線性空間對(X,Y)關於雙線性泛函〈·,·〉成為對偶,稱X上由半範數族{|〈·,y〉||y∈Y}確定的局部凸拓撲為X的關於對偶Y的弱拓撲,記為σ(X,Y)。對稱地,Y上由半範數族{|〈x,·〉||x∈X}確定的局部凸拓撲稱為Y的關於對偶X的弱拓撲,記為σ(Y,X)。當X為局部凸空間時,(X,X)為自然對偶,σ(X,X)稱為X的弱拓撲,而σ(X,X)稱為X的弱*拓撲。相應地,X中原有的拓撲稱為強拓撲。一般地,X的弱拓撲比強拓撲弱,從而弱閉集必是強閉集;對於凸集,其逆也成立,即強閉凸集也是弱閉的.集合的弱有界性與強有界性是等價的。

賦范線性空間的深入研究必然遇到弱拓撲問題。事實上,1930年,馮·諾伊曼(von Neumann,J.)就注意到了這一點。這也是需要引入拓撲線性空間的一個原因。

拓撲

拓撲是集合上的一種結構。設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件:

1.X與空集都屬於T;

2.T中任意兩個成員的交屬於T;

3.T中任意多個成員的並屬於T;

則T稱為X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間,記為(X,T)。

設T與T為集合X上的兩個拓撲。若有關係TT,則稱T粗於T,或T細於T。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時,則稱它們是不可比較的。在集合X上,離散拓撲是最細的拓撲,平凡拓撲是最粗的拓撲。

局部凸空間

局部凸空間是最重要的一類拓撲線性空間。設E是拓撲線性空間,如果E中存在由均衡凸集組成的零元的鄰域基,就稱E是局部凸的拓撲線性空間,簡稱局部凸空間,而E的拓撲稱為局部凸拓撲。零元的每個均衡凸鄰域V的閔科夫斯基泛函p(x)是E上的連續半範數.反之,設{p|λ∈Λ}是E上一族半範數,E上使p(λ∈Λ)均為連續的最弱拓撲是局部凸的,且零元的均衡凸鄰域基由下面形式的集組成:

強拓撲 強拓撲

這個局部凸拓撲稱為由半範數族{p}確定的局部凸拓撲。如果對任何x∈E(x≠0),都存在λ∈Λ使p(x)≠0,則{p|λ∈Λ}確定的局部凸拓撲是豪斯多夫拓撲.通常局部凸空間都指豪斯多夫局部凸空間.E中的定向半序點列{x}收斂於x∈E等價於對每個λ∈Λ,p(x-x)→0.設E是由另一半範數族{q}確定的局部凸空間,則使線性映射T:E→E連續的充分必要條件是,對任意的q,總存在有限個λ,λ,…,λ∈Λ和常數c,使不等式:

強拓撲 強拓撲

對一切x∈E成立。

局部凸空間的完備化空間也是局部凸的。根據哈恩-巴拿赫泛函延拓定理,局部凸空間上存在足夠多的非零連續線性泛函。正因為如此,局部凸空間理論成為拓撲線性空間理論中最重要的部分。

關於局部凸空間理論的發展大約是始於迪厄多內(Dieudonné,J.)和施瓦茲(Schwarz,L.)在1949年的工作,它的一個主要推動力是分布理論,即廣義函式理論。

賦范線性空間

賦范線性空間是一類可以引進“長度”概念的線性空間。設X是線性空間,X上滿足下列條件的實值函式p(·)稱為X上的範數:

1.p(x)≥0(x∈X);p(x)=0⇔x=0.

2.p(αx)=|α|p(x)(α為數,x∈X).

3.p(x+y)≤p(x)+p(y)(x,y∈X).

對x∈X,p(x)稱為x的範數,通常記為‖x‖.賦有範數的線性空間(X,‖·‖)稱為賦范線性空間,簡稱賦范空間。

拓撲線性空間

拓撲線性空間是一類具有拓撲結構的線性空間。如果實數域或複數域K上的線性空間E同時是有拓撲τ的拓撲空間,並且線性空間的基本運算x+y和αx(x,y∈E,α∈K)分別作為E×E和K×E到E中的映射按τ是連續的,則稱E為(實或復)拓撲線性空間或拓撲向量空間。而τ稱為E的線性拓撲或向量拓撲,零元的均衡的鄰域全體組成零元的鄰域基。滿足T分離公理的拓撲線性空間是完全正則的。

拓撲線性空間理論是泛函分析的一個重要分支,其基本概念建立於20世紀30年代,而今已經發展成為一門完整的學科,在純粹數學和套用數學、理論物理、現代力學和現代工程理論中都有廣泛套用。

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