簡介
在數學上，超現實數系統是一種連續統，其中含有實數以及無窮量，即無窮大（小）量，其絕對值大（小）於任何正實數。超現實數與實數有許多共同性質，包括其全序關係“≤”以及通常的算術運算（加減乘除）；也因此，它們構成了有序域。在嚴格的集合論意義下，超現實數是可能出現的有序域中最大的；其他的有序域，如有理數域、實數域、有理函式域、列維-奇維塔域（Levi-Civitafield）、上超實數域和超實數域等，全都是超現實數域的子域。超現實數域也包含可達到的、在集合論里構造過的所有超限序數。
來源
超現實數是由約翰·何頓·康威（JohnHortonConway）所定義和構造的。這個名稱早在1974年便已由高德納（DonaldKnuth）在他的書《超現實數》中就被引進了。《超現實數》是一部中短篇數學小說，而值得一提的是，這種把新的數學概念在一部小說中提出來的情形是非常少有的。在這部由對話體寫成的著作里，唐納德造了“surrealnumber”一詞，用來指稱康威起初只叫做“number”（數）的這個新概念。康威樂於採用新的名稱，後來在他1976年的著作《論數字與博弈》（OnNumbersandGames）中就描述了超現實數的概念並使用它來進行了一些博弈分析。
闡釋
超實數的定義和構造歸功於JohnConway，這顯示了Conway的有特色的才智和首創性。它們在DonaldKnuth1974年的書SurrealNumbers:HowTwoEx-StudentsTurnedontoPureMathematicsandFoundTotalHappiness(超實數:兩個以前的學生如何喜歡上純數學並發現完全的幸福中有介紹。該書是一本數學小說，作為少見的新數學思想在小說中初次出現的一例而著稱。該書採用對話形式，在他的書中，Knuth創造了超實數一詞，Conway起先直接稱為數。Conway喜歡這個新名字，後來自己也採用了這個詞。然後Conway在他1976年的書關於數和博弈(OnNumbersandGames)中描述超實數並將之用於分析博弈。
康韋說：“假定有兩條規則，他們產生一切大小的數。第一條規則應是：每個數對應於先前創造的數所構成的兩個集，使得左集的元中沒有一個大於或等於右集的任意元。而第二條規則應是：一個數小於或等於另一個數，若且唯若第一個數的左集沒有任何元大於或等於第二個數，而第二個數的右集沒有任何元小於或等於第一個數。”康韋還檢驗了它所制定的這兩條規則，你瞧！它們很好。
根據這種方法，可以給出1和-1：
1=﹛øl0﹜-1=﹛0lø﹜
正數N：﹛Nlø﹜=N+1
而對於負數，則有：-N—1=﹛øl-N﹜
對於無窮大，則有：inf=﹛0,1,2,3,…lø﹜，接著把inf放入右邊的位置，於是我們得到無窮大減去一的一個獨特定義：一個小於無窮大的無限數！inf—1=﹛0,1,2,3,…linf﹜
還有：1/inf=﹛0l1/2,1/4,1/8,1/16,…﹜這些獨特的量中的無論哪個，以前的數學家都未曾定義過。
