西方期權定價理論

西方期權定價理論

期權是購買方支付一定的期權費後所獲得的在將來允許的時間買或賣一定數量的基礎商品(underlying assets)的選擇權。期權價格是期權契約中唯一隨市場供求變化而改變的變數，它的高低直接影響到買賣雙方的盈虧狀況，是期權交易的核心問題。早在１９００年法國金融專家勞雷斯·巴舍利耶就發表了第一篇關於期權定價的文章。此後，各種經驗公式或計量定價模型紛紛面世，但因種種局限難於得到普遍認同。７０年代以來，伴隨著期權市場的迅速發展，期權定價理論的研究取得了突破性進展。研究西方期權定價理論，不僅有助於深化我們對期權及其他金融創新工具的研究，且對我國實業界在條件成熟時進入國際期權市場具有一定指導意義。由於當今西方主要期權理論均是從股票期權的定價發展而成，本文亦將結合股票期權進行討論。

一、布萊克－肖萊斯期權定價模型

１９７３年，美國芝加哥大學學者f·布萊克與m·肖萊斯提出了布萊克－肖萊斯期權定價模型（black-scholes option pricing model，以下簡稱布－肖模型），對股票期權的定價作了詳細的討論〔（１）ａ〕。此後，不少學者又對該模型進行了修正、發展與推廣，極大地推動了期權定價理論的研究。布－肖模型的提出是期權定價理論的重大突破，因而，布萊克與肖萊斯被公認為研究期權定價理論的傑出代表。
（一）假設前提
為了構建其期權定價模型，布萊克與肖萊斯提出了如下假設：
第一，作為基礎商品的股票價格是隨機波動的，且滿足幾何維納過程(geometric wiener process)。這意味著：１．基礎商品價格波動是獨立的，將來的價格水平只與現在的價格相關，與過去的價格無關。２．基礎商品價格不能停止變動，且這種波動是連續的。３．在極短時間內，基礎商品價格只能有微小的波動，不會出現跳躍。用數學公式來表示，即為：
ds【t】=ms【t】d【t】+σs【t】d【z】 （１）
其中s【t】表示股票價格，m為瞬時期望收益。σ為無風險連續收益率的標準差，dz為標準維納過程，是期望值為０，標準差為１的標準常態分配變數。
第二，股價服從於對數常態分配，這是幾何維納過程所隱含的一個條件，表示股價的對數滿足常態分配（見下圖）。
（附圖 {圖}）
這一分布具有兩個特點：１．非對稱性。即變數對均值上升與下跌相同幅度的機率不一樣，一般股價上升１００％的機率與下降５０％的機率相當〔（１）ｂ〕。正因為如此，保證了股價的非負性。２．從機率分布圖向兩翼，特別是向右的擴展可以看出，股票價格較大幅度地偏離均值的機率也是不容忽視的，但總體上股票價格在均值附近窄幅波動的情況更普遍。
第三，資本市場完善。即不存在交易手續費、稅收及保證金等因素。
第四，市場提供了連續交易機會。即假定所有的股票都是無限可分的，交易者能在無交易成本情況下，不斷調整股票與期權的頭寸狀況，得到無風險組合。
第五，存在一無風險利率。在期權有效期內，投資者可以此利率無限制地存款或貸款。
第六，股票不派發股息，期權為歐洲期權。
第七，基礎商品價格波動的離散度〔（２）ｂ〕為一常數。
（二）布－模型的主要內容
１．買方期權定價
基於上述假設，布萊克與肖萊斯認為期權提供了對股票組合進行保值的有效的途徑。在股票投資中存在著系統風險與非系統風險，後者可以通過投資對象的分散化來減少，但前者卻不能。但如果把股票市場與期權市場聯繫起來，則投資者就可以不斷地調整股票與期權的頭寸狀況，形成一個完全抵補的資產組合，在該組合中，股票投資的損益剛好可被期權交易的益損沖抵，從而消除了股票投資的系統風險。此時，股票與期權組合的收益率應該等同於無風險債券的收益率（即無風險利率），期權的價格也即其均衡價格〔（３）ｂ〕。
現假定我們擁有q【s】股的某種股票，為了消除系統風險，需賣出一定數量的股票期權（q【c】個契約，為簡便，假設一個契約的單位為１股），則：v【h】=q【s】·s-q【c】·c （２）
v【h】表示該組合的初始狀況，c為買方期權價格，s為股票市價，減號表示賣出。
（附圖 {圖}）
令q【s】=1，並將（３）式代入（５）式，得出：
（附圖 {圖}）
因為股價形成服從幾何維納過程（見（１）式），根據這一類隨機過程的特點，可得到如下伊藤公式〔（１）ｃ〕：
（附圖 {圖}）
對於買方期權，其價格還具有如下特點：
（附圖 {圖}）
其中n(d【1】)與n(d【2】)分別表示相應偏離程度小於d【1】與d【2】的機率，可以從標準正態函式表中查到。t表示期權剩餘的有效期限。（１１）式即是布－肖模型所給出的買方期權定價的基本公式，從中可看出：
第一，買方期權的價格完全取決於五個基本的變數，即基礎商品的市場價格(s)、期權的協定價格(x)、剩餘的有效期限(t)、無風險收益率(r)以及股票價格的離散度(σ)。在這些變數中，其中一個變化而其餘保持不變，則買方期權的價格變化將呈現如下情況：（１）基礎商品價格越高，買方期權價格越高；（２）剩餘有效期限越長，買方期權價格越高；（３）無風險收益率越大，買方期權價格越高；（４）協定價格越高，買方期權價格越低；（５）基礎商品價格離散度越大，買方期權價格越大。
第二，買方期權價格與投資者的風險偏好以及對股票價格的預期等因素沒有關係。只要能得到上述的五個基本變數，就可以得到相應的買方期權的價格。
２．歐洲賣方期權的定價
在得到了歐洲買方期權的定價公式後，很容易從中推導出同期限與協定價格的歐洲賣方期權的定價公式。根據期權的內在特點，在同一基礎商品的同期限與協定價格的買方期權與賣方期權之間存在著一定的平價關係，即：
p=c+pv【t】〔x〕-s〔（１）ｄ〕
其中p、c分別表示相應的賣方期權與買方期權的價格，pv【t】〔x〕表示將來t時x的金額的現值。將（１１）式代入上述平價公式，整理後得到：
（附圖 {圖}） （１４）
從該式中可看出，決定其價格的基本因素與買方期權一樣，但變化方向不盡相同。期權的協定價格、剩餘有效期限以及基礎商品價格的離散度與賣方期權的價格存在正向關係，而基礎商品市場價格與無風險利率和賣方期權價格之間則是反向關係。
（三）對布－肖模型的檢驗、批評與發展
布－肖模型問世以來，受到普遍的關注與好評，有的學者還對其準確性開展了深入的檢驗。但同時，不少經濟學家對模型中存在的問題亦發表了不同的看法，並從完善與發展布－肖模型的角度出發，對之進行了擴展。
１９７７年美國學者伽萊(galai)利用芝加哥期權交易所上市的股票權的數據，首次對布－肖模型進行了檢驗。此後，不少學者在這一領域內作了有益的探索。其中比較有影響的代表人物有特里皮(trippi)、奇拉斯(chiras)、曼納斯特(manuster)、麥克貝斯(macbeth)及默維勒(merville)等。綜合起來，這些檢驗得到了如下一些具有普遍性的看法：１．模型對平值期權的估價令人滿意，特別是對剩餘有效期限超過兩月，且不支付紅利者效果尤佳。２．對於高度增值或減值的期權，模型的估價有較大偏差，會高估減值期權而低估增值期權。３．對臨近到期日的期權的估價存在較大誤差。４．離散度過高或過低的情況下，會低估低離散度的買入期權，高估高離散度的買方期權。但總體而言，布－肖模型仍是相當準確的，是具有較強實用價值的定價模型。
對布－肖模型的檢驗著眼於從實際統計數據進行分析，對其表現進行評估。而另外的一些研究則從理論分析入手，提出了布－肖模型存在的問題，這集中體現於對模型假設前提合理性的討論上。不少學者認為，該模型的假設前提過嚴，影響了其可靠性，具體表現在以下幾方面：
首先，對股價分布的假設。布－肖模型的一個核心假設就是股票價格波動滿足幾何維納過程，從而股價的分布是對數常態分配，這意味著股價是連續的。麥頓(merton)、考克斯(cox)、羅賓斯坦(robinstein)以及羅斯(ross)等人指出，股價的變動不僅包括對數常態分配的情況，也包括由於重大事件而引起的跳起情形，忽略後一種情況是不全面的。他們用二項分布取代對數常態分配，構建了相應的期權定價模型。
其次，關於連續交易的假設。從理論上講，投資者可以連續地調整期權與股票間的頭寸狀況，得到一個無風險的資產組合。但實踐中這種調整必然受多方面因素的制約：１．投資者往往難以按同一的無風險利率借入或貸出資金；２．股票的可分性受具體情況制約；３．頻繁的調整必然會增加交易成本。因此，現實中常出現非連續交易的情況，此時，投資者的風險偏好必然影響到期權的價格，而布－肖模型並未考慮到這一點。
再次，假定股票價格的離散度不變也與實際情況不符。布萊克本人後來的研究表明，隨著股票價格的上升，其方差一般會下降，而並非獨立於股價水平。有的學者（包括布萊克本人）曾想擴展布－肖模型以解決變動的離散度的問題，但至今未取得滿意的進展。
此外，不考慮交易成本及保證金等的存在，也與現實不符。而假設期權的基礎股票不派發股息更限制了模型的廣泛運用。不少學者認為，股息派發的時間與數額均會對期權價格產生實質性的影響，不能不加以考察。他們中有的人對模型進行適當調整，使之能反映股息的影響。具體來說，如果是歐洲買方期權，調整的方法是將股票價格減去股息(d)的現值替代原先的股價，而其他輸入變數不變，代入布－肖模型即可。若是美國買方期權，情況稍微複雜。第一步先按上面的辦法調整後得到不提早執行情況下的價格。第二步需估計在除息日前立即執行情況下期權的價格，將調整後的股價替代實際股價，距除息日的時間替代有效期限、股息調整後的執行價格(x-d)替代實際執行價格，連同無風險利率與股價離散度等變數代入模型即可。第三步選取上述兩種情況下期權的較大值作為期權的均衡價格。需指出的是，當支付股息的情況比較複雜時，這種調整難度很大。
除上述對股息因素的考慮外，對布－肖模型的另一項主要擴展即是把它推廣到利率期權、外匯期權以及期貨期權等的定價當中，因篇幅有限，不再贅述。

二、二項分布期權定價模型

針對布－肖模型股價波動假設過嚴，未考慮股息派發的影響等問題，考克斯、羅斯以及羅賓斯坦等人提出了二項分布期權定價模型(binomial option pricing model-bopm)，又稱考克斯－羅斯－羅賓斯坦模型〔（１）ｅ〕。
該模型假設：
第一，股價生成的過程是幾何隨機遊走過程(geometric random walk)，股票價格服從二項分布。與布－肖模型一樣，在bopm模型中，股價的波動彼此獨立且具有同樣的分布，但這種分布是二項分布，而非對數常態分配。也就是說，把期權的有效期分成n個相等的區間，在每一個區間結束時，股價將上浮或下跌一定的量，從而：
（附圖 {圖}）
令snj代表第n個區間後的股價，其間假定股價上浮了j次，下跌了(n-j)次，則：
（附圖 {圖}）
第二，風險中立(risk-neutral economy)。由於連續交易機會的存在，期權的價格與投資者的風險偏好無關，它之所以等於某一個值，是因為偏離這一數值產生了套利機會，市場力量將使之回到原先的水平。
（一）單區間情況下買方期權的定價
假設股票現價為s【0】，一個區間後買方期權到期，那時股價或者上升為s【11】或者下降為s【10】即，：
（附圖 {圖}）
根據風險中立的假設，任何一種資產都應當具有相同的期望收益率，否則就會發生套利行為。也就是說此時無風險債券、股票及買方期權的將來價值滿足如下關係：
（附圖 {圖}）
上式中，q表示的是股票價格上漲的機率，因而期權的價格乃相當於其預期價格的貼現值。
（二）多區間情況下的買方期權定價
上述分析可以進一步推廣到n個區間的買方期權價格的確定。首先，需計算出買方期權價格的預期值，假設在n個區間裡，在股價上漲k次前，買方期權仍然是減值期權，內在價值仍為０，而k次到n次之間，它具有內在價值，則：
（附圖 {圖}）
（附圖 {圖}）
（三）派發股息時買方期權的定價
先前的分析沒有考慮股息的存在，假定某種股票每股在t時將派發一定量的股息，股息因子為f，除息日與付息日相同，則在除息日股價將會下降相當於股息的金額fs【t】。
（附圖 {圖}）
對於美式期權，則需考慮提前執行的情況：
在t時若提前執行，其價格等於內在的價值；不執行，則可按前面的推導得到相應的價格。最終t時的價格應當是提前執行與不提前執行情況下的最大者。即：
（附圖 {圖}）
（四）賣方期權的定價
根據歐洲期權的平價關係，可直接從其買方期權導出賣方期權價格，而美國期權則不能。利用上述推導美國買方期權價格的方法，可以同樣得到：
（附圖 {圖}）
這就是美國賣方期權的定價公式。從上述bopm模型的推演中可看出其主要特點：
１．影響期權價格的變數主要有基礎商品的市價(s)，期權協定價格(x)，無風險利率(r)，股價上升與下降的因子(u,d)，以及股息因子(f)及除息次數。事實上u與d描述的是股價的離散度，因而與布－肖模型相比，bopm所考慮的主要因素與前者基本相同，但因為增加了有關股息的討論，因而在派發股息的期權及美國期權的定價方面，具有優勢。
２．根據二項分布的特點，bopm模型中只要對u與d及p作出適當的界定，它就可以回答跳動情況下的期權的定價問題。這是布－肖模型所不能夠的。同時，當n達到一定規模後，二項分布趨向於常態分配，只要u、d及p的選擇正確，bopm模型會逼近布－肖模型。
與布－肖模型一樣，二項分布定價模型也被推廣到外匯、利率、期貨等的期權定價上，受到理論界與實業界的高度重視。
三、對西方期權定價理論的評價
以布萊克－肖萊斯模型和bopm模型為代表的西方期權定價理論，是伴隨著期權交易，特別是場內期權交易的擴大與發展而逐漸豐富與成熟起來的。這些理論基本上是以期權交易的實踐為背景，並直接服務於這種實踐，具有一定的科學價值與借鑑意義。
首先，模型將影響期權價格的因素歸納為基礎商品價格、協定價格、期權有效期、基礎商品價格離散度以及無風險利率和股息等，並認為期權價格是這些因素的函式，即：
c或p=(s,x,t,σ,γ,d)
在此基礎上得到了計算期權價格的公式，具有較高的可操作性。比如在布－肖模型中，s、x及t都可以直接得到，γ亦可以通過相同期限的國庫券收益率而求出，因而運用該模型進行估價，只需求出相應的σ值即基礎商品的價格離散度即可。實踐中，σ值既可通過對歷史價格的分析得到，亦可假定未行使的期權的市場價格即為均衡價格，將相應變數代入求得（此時稱為隱含的離散度implicit volatility）。因而操作起來比較方便。同時，這種概括是基於期權的內在特點，把它放在統一的資本市場考慮的結果。其分析觸及到了期權價格的實質，力圖揭示期權價格“應當是”多少，而不是“可能是”多少的問題，因而比早期的計量定價模型向前邁了一大步。
其次，模型具有較強的實踐性，對期權交易有一定的指導作用。布－肖模型以及二項分布模型都被編製成了計算機軟體，成為投資者分析期權市場的一種有效工具。金融界也根據模型編製成現成的期權價格計算表，使用方便，一目了然，方便了投資者。正如羅伯特·海爾等所編著的《債券期權交易與投資》一書所言：“（布－肖）模型已被證明在基本假設滿足的前提下是十分準確的，已成為期權交易中的一種標準工具。”具體來講，這些模型在實踐中的運用主要體現於兩方面：１．指導交易。投資者可以藉助模型發現市場定價過高或過低的期權，買進定價過低期權，賣出定價過高期權，從中獲利。同時，還可依據其評估，制定相應的期權交易策略。此外，從模型中還可以得到一些有益的參數，比如得耳他值（△），反映的是基礎商品價格變動一單位所引起的期權價格的變化，這是調整期權頭寸進行保值的一個十分有用的指標。此外還有γ值（衡量△值變動的敏感性指標）；q值（基礎商品價格不變前提下，期權價格對於時間變動的敏感度或彈性大小），值（利率每變動一個百分點所引起的期權價格的變化）等。這些參數對於資產組合的管理與期權策略的調整，具有重要參考價值。２．研究市場行為。可以利用定價模型對市場效率的高低進行考察，這對於深化期權市場的研究也具有一定意義。
第三，期權定價理論對於其他金融創新工具，特別是認股權或可轉換公司債券的定價分析具有一定的借鑑意義。布萊克與肖萊斯的一大貢獻就是把期權與相應的基礎商品市場結合起來進行分析。在一定程度上借鑑了資本市場的定價理論來構建期權定價的模型。這種思路對於從事金融工具定價研究的學者來說，應當是富有啟發意義的。
當然，上述西方期權定價理論仍然存在不少問題，有前面的論述中，筆者詳細介紹了西方學者所提出的一些批評。總體來看，這些批評確實指出了模型存在的主要問題。二項分布模型雖然是對布－肖模型的發展之作，但後者所面臨的許多問題仍然沒有解決。比如風險中立的問題。如果連續交易的前提不能滿足，風險中立假設便不確切的，而現實中確實很難保證隨時調整期權的頭寸狀況。再比如資本市場完善的假設，即使在資本流動越來越容易的今天，也仍難以實現。諸如此類問題的解決，仍是需要待以時日的。儘管如此，迄今為止仍未出現一種嶄新的能取代布－肖模型或二項分布模型的新理論，許多修正之作也或因變數過多計算複雜，或因變數估價困難而難以得到普遍的認同。因此，布－肖模型與二項分布模型仍不失為頗有價值的定價模式，值得進一步加以研究。