芬斯拉不等式

a^2+b^2+c^2≥4√3 a^2=(m+n a^2+b^2+c^2-4√3

芬斯拉不等式
設△ABC的三邊長分別為a、b、c，面積為Δ，則
a^2+b^2+c^2≥4√3 Δ（當a=b=c時，等號成立）……（1）
不等式（1）叫做芬斯拉不等式（Finsler，1894—），它反映了三角形三邊與其面積之間的關係。
證明一：如圖，因任意△ABC的三條高至少有一條在△ABC內，不妨設BC邊上的高AD在△ABC內，設AD=h，BD=m，DC=n，則有
a^2=(m+n)^2，b^2=h^2+n^2，c^2=h^2+m^2，Δ=(m+n)h/2，
∵[h-√3(m+n)/2]^2+[(m-n)/2]^2≥0……（2）
等號若且唯若h=√3(m+n)/2，且m=n時，即△ABC為正三角形時成立。展開（2）式並整理可得
(m+n)^2+h^2+n^2+h^2+m^2≥2√3(m+n)h，
∴ a^2+b^2+c^2≥4√3 Δ。（當a=b=c時，等號成立）
註：證明的關鍵是巧妙在構造不等式（2），為此必須首先猜想到當a=b=c時，正三角形的面積最大，此時有m=n，h=√3(m+n)/2，利用這兩個公式就可造出不等式（2）。
證明二：由餘弦定理及三角形面積公式，
a^2+b^2+c^2-4√3 Δ
=a^2+b^2+(a^2+b^2-2abcosC)-2√3abcosC
=2[a^2+b^2-2absin(C+30°)
≥2(a^2+b^2-2ab)=2(a-b)^2≥0
若且唯若a=b，∠C=60°，即a=b=c時，等號成立。
芬斯拉不等式的推廣：
1、若a、b、c、d為四邊形的四條邊， Δ為其面積，則有
a^2+b^2+c^2+d^2≥4 Δ
等號若且唯若四邊形為正方形時成立。
2、若L1、L2、……、Ln為n邊形的邊長， Δ為其面積，則有
L1^2+L2^2+……Ln^2≥4 Δtan(π/n) (n≥3)
等號若且唯若這個n邊形為正n邊形時成立。