自同態:自同態是指從群胚、么半群、群、環到其自身中的同態、向量空間在自身 -百科知識中文網

基本概念

同構

兩個數學系統(例如兩個代數系統)，當它們的元素及各自所定義的運算一一對應，並且運算結果也保持一一對應，則稱這兩個系統同構，記為≌。它們對於所定義的運算，具有相同的結構。例如，十進制數與二進制數是同構的。
建立同構關係的映射，稱為同構映射。例如，當映射為一一映射,並且對應元素關於運算保持對應時，就是同構映射。
同構是數學中最重要的概念之一。在很多情況，一個難題往往可以化成另一個同構的、似乎與它不相關的、已經解決的問題,從而使原問題方便地得到解決。雖然數學發展得越來越複雜，但利用同構概念，不僅使數學得到簡化，而且使數學變得越來越統一。表面上似乎不同，但本質上等價的結果，可以用統一的形式表達出來。例如，如果四色定理得到了證明，其他數學分支中與它同構的幾十個假設，也同時得到了證明。

同態

設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤，稱從E到F中的映射是群胚同態，如果對於E的任一元素偶有 ( ⊥ )= ⊤ ，設E與F為兩個么半群(兩個群)，稱從E到F中的映射，是么半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素， (在群的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法么半群N到乘法么半群N的映射x↦0是群胚的同態，而並不因此就是么半群的同態)。

設G為乘法群，而

為G的元素，由關係所定義的從加法群Z到G中的映射是群的同態。
設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射是環(體)的同態，如果是加法群的同態，且為乘法么半群的同態，這就是說，對A的任一元素偶，有

並且將A的單位元變成B的單位元。

例如，設n為非零自然數，使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態，設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)，稱從E到F中的映射是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態.。例如,設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基，則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。

自同態的定義

自同態是已知集合(群、環、代數)到其自身保持代數結構的映射，例如線性空間到某半空間的射影就是線性空間的自同態，它保持了向量的加法運算和數乘運算。設G為關於加法的交換群，賦以加法及法則的G的全體自同態之集是一個環；設E為交換體K上的向量空間，賦以法則， E的全體自同態之向量空間是酉代數，記為ℒ(E)，或End(E)，元素仍記為gf，A-模的情形是類似的。

群的自同態

設是G到G本身的一個同態(或同構)，則稱是G上的一個自同態(endomorphism)(或自同構(automorphism))，G上的所有自同態的集合對變換的複合構成—-個含么半群，稱為G上的自同態半群(endomorphism semigroup)，記作EndG，G上的所有白同構的集合對變換的複合構成一個群，稱為G上的自同構群(automorphism group)，記作AutG。

在群G中，取定一個元素，定義G上的一個變換為：對任何有，則是G上的一個自同構，這個自同構稱為一個內自同構(inner autmorphism)，G上的全體內自同構構成一個群，稱為內自同構群(inner automorphism group)，記作InnG，即

內自同構群有以下性質。

定理設G是群，則

（1）

（2）

其中C為G的中心。

下面通過一些例子來說明如何確定一個群的自同態半群或自同構群。

例1 設Z是整數加群，試確定AutZ。

解: 設是Z的任一自同構，並設 (1)=k，則對任意有，因為是滿射，故存在，使，由此得k=1或k=-1，也就是說，只有以下兩個映射才有可能是同構映射：

不難驗證與確是Z上的同構，所以。

通過這個簡單的例子可以說明如何確定一個群G的全部自同構(或自同態)，首先分析任意一個自同構(或自同態) 的性質，主要是分析G的生成元在下的像，從而決定所具有的約束條件，根據這個約束條件寫出全部自同構(或自同態)。在表達方法上，最後得到的不同的自同構(或自同態)套用不同的映射記號(例如 )表示，對每一個映射給出的一般表達式。