基本介紹
常係數微分運算元是係數為常數的線性偏微分運算元，其一般形式為：
常係數微分運算元
常係數微分運算元其中 為常數(實數或複數)。例如，拉普拉斯運算元
常係數微分運算元
常係數微分運算元
常係數微分運算元熱運算元 ，波運算元 等都是常係數微分運算元。線性偏微分運算元理論中的若干重要問題，如基本解的存在性、局部可解性、亞橢圓性的判定等對於常係數情形均已完全解決 。
基本解的存在性定理
常係數微分運算元 常係數微分運算元
常係數微分運算元基本解的存在性定理(theorem for existence offundamental solution)是關於基本解存在性的一個定理。該定理斷言：每個非零的常係數微分運算元 都有基本解， 的基本解E作為廣義函式可如下構造： ，
常係數微分運算元
常係數微分運算元
常係數微分運算元
常係數微分運算元
常係數微分運算元其中 表示 的逆傅立葉變換。H為 中某個適當的區域，滿足 ，由基本解的存在可知常係數微分運算元是局部可解運算元。
亞橢圓常係數微分運算元
常係數微分運算元 常係數微分運算元亞橢圓常係數微分運算元(hypoelliptic differential operator with constant coefficients)是最基本的亞橢圓運算元，設 是常係數微分運算元，則下述條件中的每一個都是 為亞橢圓運算元的充分必要條件：
常係數微分運算元
常係數微分運算元
常係數微分運算元
常係數微分運算元
常係數微分運算元1．以 記 集合 的距離，則當 時， 。
常係數微分運算元
常係數微分運算元
常係數微分運算元2．存在正的常數c及C，當 且 充分大時，不等式 成立。
常係數微分運算元
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常係數微分運算元3．記 ，對於每個非零多重指標 ，當 且 時，有 。
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常係數微分運算元4．存在正的常數c及C，當 且 充分大時，不等式 成立 。
施瓦茲定理
常係數微分運算元
常係數微分運算元
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常係數微分運算元
常係數微分運算元施瓦茲定理[Schwarz(th.de)]設 為 的開集 上的連續可微的數值函式，且在 的點 處兩次可微，則對 的任一相異元素偶 ，必有
常係數微分運算元 常係數微分運算元
常係數微分運算元這個定理表明，在 上無限可微的全體函式之向量空間 的全體自同態之代數中，所有自同態
常係數微分運算元兩兩可交換。因此，由這些自同態生成的酉子代數是交換的；它的元素是常係數微分運算元 。
定強微分運算元
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常係數微分運算元
常係數微分運算元
常係數微分運算元對 定義的微分運算元稱為在中 具定強，若對任意固定的，常係數微分運算元及是等強的，即
常係數微分運算元下面的引理把這個條件改成通常更方便的形式。
常係數微分運算元
常係數微分運算元
常係數微分運算元
常係數微分運算元
常係數微分運算元引理1 設具定強，對固定的令並設是弱於的常係數運算元的有限維向量空間的基底，則有
常係數微分運算元
常係數微分運算元 常係數微分運算元 常係數微分運算元這裡係數唯一確定，在為0且有與的係數相同的可微性及連續性質 。
