定義介紹
運算元群(operator group)亦稱帶算群或稱Ω群。比群更廣且有重要運用價值的群類。群G到G的一個映射α：g→g 稱為G的一個運算元，若對於任意的x，y∈G，均有(xy) =xy。G的一個運算元就是G的一個自同態。G的某些運算元做成的集合，稱為G的一個運算元集。運算元集常用Ω記。帶有運算元集的群稱為帶算群，或運算元群，或Ω群。設H是群G的子群，Ω是G的一個運算元集，若對任意的α∈Ω，h∈H，均有h ∈H，則稱H是G的Ω容許子群(Ω不變子群)。當Ω是G的全體內自同構所成之集時，G的Ω容許子群就是G的正規子群；當Ω是G的全體自同構所成之集時，G的Ω容許子群就是G的特徵子群。運算元群的理論與一般群的理論是平行的，群的一般理論都可以推廣到運算元群上去，且取定適當的運算元集，有時還可以提高對群本身的研究效果。而一般的群可以看成運算元集為空集的群。
群
一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
群論
研究具有一種結合法的特殊代數系——群的科學。代數學的分支學科。如果在元素集合G中定義了一種叫乘法的運算，並且這個運 算滿足下面四個條件： (1) 對任意f，g∈G，必有 fg∈G； (2) 對任意f，g，h∈G，都有 (fg) h=f (gh)； (3) G中有唯一的e，使得對G中任意元素f 都有ef=fe=f； (4) 對G中任意元素f，在G中有 唯一的f 使得f f=ff =e。那么，稱G為群。各種群的結構、各種群運算的性質及群的套用，是群論研究的對象。
群論研究的內容十分豐富。概括起來主要包括有 限群論、有限生成群、一般群論、群表示論等。本世 紀20年代量子力學誕生之前，群論只是一個純粹的 數學分支。而後，在物理學中，群論的方法導致了有關原子和分子結構的重大發展。現在，群論已經是量 子物理學和量子化學經常用到的工具。因此，群論是蓬勃發展的、具有廣闊套用前景的學科。
子群
群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為HG或簡記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H。若{H|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有H的交H是G的一個子群。
正規子群
亦稱不變子群。一類重要的子群。在共軛作用下不變的子群。設H是群G的一個子群，若對任意的x∈G有Hx=xH，則稱H是G的一個正規子群，記為HG。子群H是G的正規子群的充分必要條件是對於任意的h∈H，x∈G，有xhx∈H。{e}和G是G的兩個正規子群，稱為G的平凡正規子群。
同態
設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤。稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：
運算元群設E與F為兩個么半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。f是么半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。(在群的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法么半群N到乘法么半群N的映射x↦0是群胚的同態， 而並不因此就是么半群的同態)。
設G為乘法群，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。
設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態. 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：
運算元群並且f將A的單位元變成B的單位元。
例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。
例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基. 則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。
自同態
指從群胚，么半群，群，環到其自身中的同態，向量空間在自身中的線性映射，等等。
設G為關於加法的交換群.賦以加法及法則(f，g)↦g°f的G的全體自同態之集是一個環。
設E為交換體K上的向量空間。賦以法則(f， g)↦g°f， E的全體自同態之向量空間是酉代數，記為ℒ(E)，或End(E)。元素g°f仍記為gf。A-模的情形是類似的。
