概念
反同態(anti-homomorphism)是一類特殊映射。使運算反序的映射。設G與G′是兩個群，f是G到G′的映射，若對任意的a，b∈G，f(b)f(a)=f(ab)，則稱f是群G到群G′的一個反同態。若映射f還是一一映射，則稱f為G到G′的反同構。特別地，當G′=G時，上述的反同態稱為反自同態，反同構稱為反自同構。
設E與F為兩個群胚，f為從E到F中的映射。稱f為從E到F中的反同態，如果f是從群胚E到F的反向群胚中的同態。這就等於說，對E的任一元素偶(x，y)，都有：
f(x⊥y)=f(y)⊤f(x).
在么半群，群或環的情況下有類似的定義。
映射
映射亦稱為函式。數學的基本概念之一。也是一種特殊的關係。設G是從X到Y的關係，G的定義域D(G)為X，且對任何x∈X都有惟一的y∈Y滿足G(x，y)，則稱G為從X到Y的映射。即關係G為映射時，應滿足下列兩個條件：
1.(x∈X)(y∈Y)(xGy).
2.(x∈X)(y∈Y)(z∈Y)((xGy∧xGz)→y=z)。這個被x∈X所惟一確定的y∈Y，通常表示為y=f(x)(x∈X)。f(x)滿足：
1) f(x)∈Y.
2) G(x，f(x))成立(x∈X).
3)z∈Y，G(x，z)→z=f(x).
關係G常使用另一些記號：f：X→Y或XY。f與G的關係是y=f(x)(x∈X)，若且唯若G(x，y)成立。可取變域X中的不同元素為值的變元稱為自變元或自變數。同樣可取變域Y中的不同元素為值的變元稱為因變元或因變數。始集X稱為映射f的定義域。記為D(f)或dom(f)。終集Y稱為映射的陪域，記為C(f)或codom(f)。Y中與X中的元素有關係G的元素的組合{y|x(x∈X∧y=f(x)∈Y)}稱為映射的值域，記為R(f)或ran(f)。.當y=f(x)時，y稱為x的象，而x稱為y的原象。y的所有原象所成之集用f(y)表示。對於AX，所有A中元素的象的集合{y|x(x∈A∧y=f(x)∈Y)}或{f(x)|x∈A}稱為A的象。記為f(A)。對於BY，所有B中元素的原象的集合{x|x∈X∧y(y∈B∧y=f(x))}稱為B的原象。記為f(B)。顯然：f(A)=f(x)，f(B)=f(y)。
群
一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
同態
設E與F為兩個群胚，它們的合成法則分別記為⊥與⊤. 稱從E到F中的映射f是群胚同態，如果對於E的任一元素偶(x，y)，有：
反同態設E與F為兩個么半群(兩個群)，稱從E到F中的映射。f是么半群(群)的同態，如果f是群胚的同態，且E的中性元素的象是F的中性元素。 (在群的情況下，後一個條件是自然滿足的，但是從加法么半群N到乘法么半群N的映射x↦0是群胚的同態， 而並不因此就是么半群的同態)。
設G為乘法群，而a為G的元素。由關係f(n)=an所定義的從加法群Z到G中的映射f是群的同態。
設A與B為兩個環(兩個體)，稱從A到B中的映射f是環(體)的同態，如果f是加法群的同態，且為乘法么半群的同態. 這就是說，對A的任一元素偶(x，y)，有：
f(x+y)=f(x)+f(y)f(xy)=f(x)f(y)，
並且f將A的單位元變成B的單位元.
例如，設n為非零自然數；使任一有理整數對應其對模n的剩餘類映射是從環Z到環Z/nZ上的同態。設E與F為兩個A-代數(兩個酉A-代數)。稱從E到F中的映射f是A-代數(酉A-代數)的同態，如果它是線性映射，並且是乘法群胚(乘法么半群)的同態。
例如，設E為交換體K上的非零有限n維向量空間，而B為E的基。則從E的全體自同態之酉代數ℒ(E)到K中元素構成的全體n階方陣之酉代數Mn (K)中的映射，如果該映射使E的任一自同態對應它在基B中的矩陣，則這一映射是酉代數的同態。
同態的概念能用抽象的方式加以推廣。
自同態
指從群胚，么半群，群，環到其自身中的同態，向量空間在自身中的線性映射，等等。
設G為關於加法的交換群。賦以加法及法則(f，g)↦g°f的G的全體自同態之集是一個環。
設E為交換體K上的向量空間。賦以法則(f， g)↦g°f， E的全體自同態之向量空間是酉代數，記為ℒ(E)，或End(E)。元素g°f仍記為gf。A-模的情形是類似的。
同構
設E與F為兩個群胚，兩個么半群，兩個群，兩個環，兩個向量空間，兩個代數或兩個酉代數。稱從E到F中的映射f是同構，如果f有逆映射，並且f與f是兩個同態。 可以證明，任一雙同態是同構。
設E與F為兩個有序集。稱從E到F中的映射f是同構，如果它存在逆映射，並且f與f-1都是遞增的。即是說，對E的任一元素偶(x，y)，關係x≤y與f(x)≤f(y)等價。在E與F皆為全序集的情況下，可以證明任一雙同態是同構。例如， 指數函式x↦ex是從實數加法群R到嚴格正實數乘法群R*+上的同構。逆同構是對數函式x↦lnx。 二者都是遞增的，這兩個雙射也是有序集的同構。
自同構
設E為群胚，么半群，群，環，向量空間，代數或酉代數。從E到其自身上的同構稱為E的自同構。
賦以合成法則(f，g)↦g°f後，E的自同構集是一個群，自然地稱為E的自同構群，記為Aut(E).例如，設E為交換體K上的向量空間. E的同位相似是自同構，若且唯若它的比不為零。 ——現假定E為有限維的。為使E的自同態是自同構，必須且只須它是單射，或是雙射。
