定義
基:線上性代數中,基(也稱為基底)是描述、刻畫向量空間的基本工具。向量空間的基是它的一個特殊的子集,基的元素稱為基向量。向量空間中任意一個元素,都可以唯一地表示成基向量的線性組合。如果基中元素個數有限,就稱向量空間為有限維向量空間,將元素的個數稱作向量空間的維數。
同樣的,線性基是一種特殊的基,它通常會在異或運算中出現,它的意義是:通過原集合S的某一個最小子集S1使得S1內元素相互異或得到的值域與原集合S相互異或得到的值域相同。
性質
線性基能相互異或得到原集合的所有相互異或得到的值。
線性基是滿足性質1的最小的集合
線性基沒有異或和為0的子集。
1.線性基能相互異或得到原集合的所有相互異或得到的值。
2.線性基是滿足性質1的最小的集合
3.線性基沒有異或和為0的子集。
證明:
反證法:設線性基S={a1,a2...,an};
若有子集a1^a2^...^at=0,則a1=a2^a3^...^at,則捨棄a1後一定能通過剩餘的元素異或出所有需要a1參與異或的值。設Y=a1^X,因為{a1,a2,...,an}是一組線性基,X一定能由a2...an中相互異或得來。
Y=a1^X=a2^a3^...^at^X,將X中在a2...at中出現的元素刪去,在a2...at中未出現的元素加入,則也能異或得到Y,所以a1於線性基無用,與線性基是最小子集的定義矛盾。
所以:線性基沒有異或和為0的子集。
套用
信息學競賽中的各種題目。