空氣動力學小擾動理論
正文
用於分析一類可壓縮流動的一種近似理論。當無窮遠處勻直氣流以小攻角流過扁平或細長物體時，物體給該氣流的擾動一般較小。如原勻直流的速度為V∞，擾動速度為v┡，在一般情形下，有。分析這種小擾動流動,可將擾動的高階項，如
略去,使描述流動的方程式大為簡化，易於求解。簡化後的方程仍然保留原方程式的某些主要特徵,也能表征流動的主要特徵,這種理論稱為小擾動理論。在亞聲速流動或超聲速流動問題中,小擾動假設把基本微分方程簡化成線性方程,此時稱為線化小擾動理論。在跨聲速流動和高超聲速流動問題中，小擾動假設雖可使基本方程簡化，但不能使之成為線性的，因而求解還很困難。 小擾動方程 在Oxyz直角坐標系中，設原勻直流的流向為正x方向，流速為V∞,流場中任意一點處的速度分量可表為：
，
式中v憤、v揙、v╚分別為擾動速度的三個分量。在小擾動情況下，它們滿足： 求出這些擾動速度分量，流動問題就解決了。在定常和可忽略粘性的可壓縮流動中，利用小擾動假設，忽略氣體動力學基本方程組（見流體力學基本方程組）中的二階和二階以上的小量，可得出如下的小擾動方程：
亞聲速和超聲速流動情形 此時不接近於1，又不是很大，小擾動方程中右邊諸項同左邊諸項相比為高階小量，可忽略，故小擾動方程簡化為：
。
這就是亞聲速流動或超聲速流動的小擾動方程，稱為普朗特-格勞厄脫方程。該方程是線性的,可以套用解的疊加原理求解。對於具體的流動問題，如再將物面邊界條件也作線性化處理，就比求解原來的非線性基本方程容易，套用也廣泛。跨聲速流動情形 此時接近於1，小擾動方程中右邊的第一項 和左邊第一項可能成為同一數量級，因而不能忽略，此時小擾動方程簡化為： 它比原氣體動力學基本方程簡單，但仍是非線性的，求解還有不少困難。目前已有一些求解的方法，這些方法以及基於小擾動假設之上的跨聲速相似律是跨聲速小擾動理論的主要內容（見跨聲速流動）。
高超聲速流動情形 在小擾動假設下，從氣體動力學基本方程出發，利用激波關係式和物面邊界條件，可對激波層內的擾動速度、壓力和密度等物理量進行量級估計。考慮具有常比熱比的完全氣體，若設 δ為流動問題中的小量（如物體細長比）,又設V∞、p∞、ρ∞和分別為來流速度、壓力、密度和馬赫數；v憤為激波層內沿來流方向的擾動速度，v揙、v╚為氣流在垂直於來流方向的平面內的擾動速度分量；p2和ρ2為激波後的氣流壓力和密度。量級估計給出，
。由此對氣體動力學基本方程組、激波和物面的邊界條件進行無量綱化，略去二階和二階以上小量，可得到與前述不同的簡化的高超聲速小擾動方程和相應的邊界條件。這些方程仍為非線性方程，但顯示出流動在一定條件下可有相似性的重要結果：若兩個相似的物體（無量綱物形方程相同）的參數K(K＝/δ)、氣體的比熱比γ和α/δ(氣流攻角α同細長比的比值)都對應相等，則這兩物體的繞流流動是等效的，或稱為彼此相似，即在相同的無量綱空間位置上，流動的無量綱物理量（如壓力、密度、速度等）對應相等。這一等效性規律稱為相似律。K、γ、α／δ稱為尖薄體高超聲速相似參數。物體的壓力係數、舉力係數和阻力係數也將只與這些相似參數有關。相似律在理論和實驗研究上都有重要意義。上述高超聲速相似律是由中國學者錢學森和郭永懷於1946年研究二維和軸對稱無鏇運動方程時提出的，後來又有許多發展。小擾動量級分析表明，尖薄物體作高超聲速運動時對氣流的擾動，在運動方向上的擾動速度比為高階小量，在準確到一階時可以忽略。因此，可近似地認為物體的運動只引起氣體的橫向擾動。從數學上看，在小擾動條件下，一個三維定常流動通過變數變換可轉化為二維非定常流動。相應地，可將物體的三維繞流運動比擬成二維非定常活塞運動。構想在x＝x0處有一固定平面,當物體尚未到達該平面時,該平面上的氣體處於靜止狀態,如果在初始瞬時t1物體的頂點剛好接觸到平面，則平面上的氣體在此瞬間即將開始運動。此後，物體與平面相交，頭部激波也與平面相交。在激波與平面的交線和物體與平面交線之間的氣體以一定的速度運動。隨著時間的延續,這兩種交線均向四周擴展。從平面上看,這種情況好象一個柱狀活塞作徑向膨脹運動並帶動周圍氣體運動，在運動氣體外圍有一激波隨時間向外傳播。這樣就建立了高超聲速尖薄體繞流與二維非定常活塞運動的近似等效比擬關係。這種等效性原理也稱為平面截面律。利用平面截面律可以求解尖薄體高超聲速繞流問題。當繞流滿足最簡單的相似解的條件時，問題就簡化為常微分方程組的求解。二維楔、軸對稱圓錐和冪次體等零攻角繞流問題的求解就屬這一類型。
參考書目
H.W.李普曼、A.羅什柯合著，時愛民等譯：《氣體動力學基礎》，機械工業出版社， 北京，1981。（H. W.Liepmann and A.Roshko, Elements of Gasdynamics,John Wiley & Sons,New York,1957.)
W.D. 海斯、R.F. 普洛布斯坦著，嚴宗毅、孫菽芬譯：《高超音速理論》，第一卷，科學出版社，北京，1979。（W. D.Hayes and R.F.Probstein, Hypersonic FlowTheory,Vol.1,Academic Press,New York,1966.）
