概念
相對同倫是同倫群的推廣。若(X，A，x)是有基點的空間偶，定義：
P(X;x，A)=(X，A，x)
是X中以x為始點，終點在A中的所有道路的空間，帶有緊開拓撲，則有自然的連續映射π：P(X;x，A)→A，定義如下：對於ω∈P(X，x，A)，π(ω)=ω(1).若n≥1是整數，則(X，A，x)的第n個相對同倫集π(X，A，x)定義為：
π(X，A，x)=π(Ω(P(X;x，A))，ω)，
其中Ω是定義在有基點的拓撲空間範疇上的閉路函子，π(Ω(P(X;x，A))，ω)是Ω(P(X;x，A))中包含常值閉路ω的道路連通分支作為基點的所有道路連通分支的集合。由函子Ω的性質可知，π(X，A，x)=π(P(X;x，A)，ω)。對於n≥2，π(X，A，x)是一個群；；對於n≥3，它是一個交換群；對於一切n≥1，π是定義在有基點的拓撲空間偶上的一個函子。若f：(X，A，x)→(Y，B，y)是空間偶之間的保基點連續映射，則記：
相對同倫相對同倫有一些與相對同調相類似的性質，例如，相對同倫的正契約倫序列等。
同倫
設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射，若存在連續映射H：X×I→Y使得：
H(x，0)=f(x)
H(x，1)=gx∈X
則稱f與g同倫，記為f≃g：X→Y或f≃g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{h}，h連續地依賴於t且h=f，h=g，即當參數t從0變到1時，映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切連續映射之集，則同倫關係≃是C[X，Y]上等價關係，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續映射，若對每個x∈X，點f(x)與g(x)可由Y中線段連結，則f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設X，Y與Z均為拓撲空間，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，則gf≃gf： X→Z。
設X，Y為拓撲空間，若存在連續映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Id且f·g≃id。這Id、id均表示恆同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x∈X，使得常值映射C：X→X。x→x與映射id同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條：(1)id≃0，即恆同映射id零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g：Z→X，g≃0。
設A是空間X的子空間，i：A→X表包含映射，若存在連續映射r：X→A，使得r|=id(或r·i=id)，則r稱為X到A的保核收縮，A稱為X的收縮核。若有保核收縮r：X→A滿足i·rid：X→X，則H稱為X到A的形變收縮，A稱為X的形變收縮核，若同倫H還滿足對任意x∈A和t∈I有H(x，t)=x，則H稱為X到A的一個強形變收縮，A稱為X的強形變收縮核。強形變收縮是形變收縮，且若A是X的形變收縮核，則內射i：A→X是同倫等價。
兩個拓撲空間X和Y同倫等價的充要條件是：存在空間Z，使得X與Y分別同胚於Z的兩個強形變收縮核。
倫型相同的拓撲空間所共有的性質稱為同倫不變數。由於同胚的空間必同倫，故同倫不變數一定是拓撲不變數。代數拓撲學主要研究空間的同倫。
同倫群
同倫群(homotopy groups)是基本群的高維推廣。基本群是從單位閉區間I到拓撲空間X的閉路的同倫等價類和其運算得到的。考慮n維歐氏空間R中的n維方體：
相對同倫
相對同倫 相對同倫是的邊界，即：
相對同倫存在i使得，
相對同倫 相對同倫設X為拓撲空間，x∈X，用M(X，x)表示全體連續映射α：(，)→(X，x)所成的集合，α和α′相對於I的同倫關係αα′是M(X，x)上的一個等價關係，它把M(X，x)的元素分成一些同倫等價類，用π(X，x)表示這些等價類所成的集合.定義映射α*β：(I，I)→(X，x)，使得：
相對同倫從而，α*β∈M(X，x)，並且，若α∽α′，β∽β′，則：
相對同倫因此，可在π(X，x)中定義運算：
相對同倫並且關於這一運算使它構成群，仍記為π(X，x)，稱為拓撲空間X的以x為基點的n維同倫群。1維同倫群就是基本群π(X，x).同倫群還有一種等價定義方式，它是用n維球面S代替n維方體I，這種定義給討論同倫群的性質有時帶來方便。類似基本群的討論，同倫群具有性質：當拓撲空間是道路連通空間時，其同倫群與基點選取無關；利用連續映射誘導的同倫群之間同態的一些性質得出，同倫群是同倫型不變數(更是拓撲不變的)；當n≥2時，同倫群π(X，x)是交換群，因而有時把運算寫成[α]+[β]。同倫群與同調群的一些基本關係：對於連通復形K的多面體|K|，1維同調群同構於基本群的交換化，即：
相對同倫這裡[π(|K|)，π(|K|)]表示基本群π(|K|)的換位子群。高維同倫群與同調群之間的關係，由赫萊維茨(Hurewicz，W.)的同構定理給出：設|K|是連通復形K的多面體，當n≥2時，若|K|的1，2，…，n-1維同倫群都是平凡群，則π(|K|)xH(K)。
