概念
同倫映射(homotopic maps)是拓撲學的重要概念。直觀地說，從拓撲空間X到拓撲空間Y的連續映射f，g是同倫的，是指在Y中可將f連續形變成g。設f，g：X→Y都是連續映射，I=[0，1]，若存在連續映射H：X×I→Y，使得對所有x∈X，
H(x，0)=f(x)， H(x，1)=g(x)，
則稱f和g是同倫的映射，記為fg：X→Y，稱H為從f到g的一個同倫或倫移，該同倫也可記為H：fg。有時記H(x，t)≡f(x)，這時的f=f，f=g，若對所有t，同倫f都是X到Y的同胚，則稱f合痕於g。應該指出，映射的同倫關係是從拓撲空間X到Y的所有連續映射所成集合C(X，Y)上的一個等價關係，它將這些映射分成一些等價類，稱每個等價類為一個同倫類。研究映射的同倫分類問題是同倫論的基本內容之一。
拓撲學
拓撲學是現代數學的重要的分支學科。它研究幾何形體在連續形變，精確地說，雙方一一而且雙方連續的變換(稱為同胚)之下保持不變的性質。理解的廣泛些，它是研究數學中連續性現象的學科。
拓撲學萌芽很早，但直到19世紀末才開始從不同的方面正式形成學科。20世紀末，拓撲學已發展為現代數學的一個龐大的學科，包括作為現代數學的基礎的拓撲空間理論為核心內容的一般拓撲學，運用抽象代數的概念和方法為工具的代數拓撲學，進而派生出以流形為主要對象的微分拓撲學以及幾何拓撲學等方面.拓撲學可簡稱為拓撲，但拓撲一詞還可作為拓撲空間中的拓撲結構理解。
拓撲學最初被稱為形勢幾何學(geometria situs)，這是萊布尼茨(Leibniz，G.W.)於1679年提出的，他預見到現在所稱的組合拓撲學.最早為人所知的拓撲學定理可能是所謂的歐拉公式.歐拉(Euler，L.)於1750年發表了任何閉的凸多面體的頂點數v，棱數e和面數f有關係v-e+f=2.用現代說法，它是一個拓撲不變數，稱為歐拉示性數.據史學家考證，笛卡兒(Descartes，R.)在1639年就知道它，並且萊布尼茨通過笛卡兒未發表的手稿於1675年得知這一結果.另一著名的結果是哥尼斯堡七橋問題的解決，歐拉在1736年將問題表成能否一筆畫一個給定的圖，並給出了一般性的解答.德國數學家高斯(Gauss，C.F.)於1827年得到曲面上曲率的積分與歐拉示性數的關係，他於1823年在電動力學中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環繞數.利斯廷(Listing，J.B.)於1848年第一次採用了拓撲學一詞，其實他認為寧願用形勢幾何，只是已被別人采作他用.黎曼(Riemann，B.)於1851年定義了黎曼面，引進了連通性和虧格，實際上解決了可定向閉曲面的分類問題，給拓撲學的建立以巨大的推動.1858年，默比烏斯(Mo¨bius，A.F.)和利斯廷獨立地發現了單側的曲面，現被更確切地稱為不可定向曲面.默比烏斯於1863年恰當地指出形勢幾何學的定義.貝蒂(Betti，E.)於1870年定義了高維的連通性.若爾當(Jordan，C.)於1887年提出曲線定理，但證明是錯的，直到1905年才得證.
拓撲學正式成為一門獨立的學科是龐加萊(Poincaré，H.)實現的.他於1892年發表了題為“論形勢分析”的短文，然後於1895年發表了題為“形勢分析”的120頁的長文，介紹它的概念，其中有同調、貝蒂數、相交、基本群，甚至隱含著上同調;建立了對偶定理和歐拉-龐加萊公式.隨後直到1904年，他連續發表了五篇補充，為改進前述長文中的缺點創立了剖分方法，定義了撓係數，開始探討三維流形的拓撲分類，構造出基本群不平凡而一維貝蒂數平凡的三維流形，並提出了著名的至今尚未解決的龐加萊猜想：基本群平凡的三維閉流形同胚於三維球面.這幾篇文章奠定了組合拓撲學的基礎，其思想之豐富，觀念之深刻，影響之深遠，一言難盡，但不夠嚴密或缺乏證明，後來的進展正是從此入手，將這門學科建立在嚴格的邏輯上而發展為後來的組合拓撲學、代數拓撲學，進而發展出微分拓撲學等學科和分支.
拓撲空間
拓撲空間是歐幾里得空間的一種推廣。給定任意一個集，在它的每一個點賦予一種確定的鄰域結構便構成一個拓撲空間。拓撲空間是一種抽象空間，這種抽象空間最早由法國數學家弗雷歇於1906年開始研究。1913年他考慮用鄰域定義空間，1914年德國數學家豪斯多夫給出正式定義。豪斯多夫把拓撲空間定義為一個集合，並使用了“鄰域”概念，根據這一概念建立了抽象空間的完整理論，後人稱他建立的這種拓撲空間為豪斯多夫空間(即現在的T2拓撲空間)。同時期的匈牙利數學家裡斯還從導集出發定義了拓撲空間。20世紀20年代，原蘇聯莫斯科學派的數學家П.С.亞里山德羅夫與烏雷松等人對緊與列緊空間理論進行了系統研究，並在距離化問題上有重要貢獻。1930年該學派的吉洪諾夫證明了緊空間的積空間的緊性，他還引進了拓撲空間的無窮乘積(吉洪諾夫乘積)和完全正規空間(吉洪諾夫空間)的概念。
20世紀30年代後，法國數學家又在拓撲空間方面做出新貢獻。1937年布爾巴基學派的主要成員H.嘉當引入“濾子”、“超濾”等重要概念，使得“收斂”的更本質的屬性顯示出來。韋伊提出一致性結構的概念，推廣了距離空間，還於1940年出版了《拓撲群的積分及其套用》一書。1944年迪厄多內引進雙緊緻空間，提出仿緊空間是緊空間的一種推廣。1945年弗雷歇又提出抽象距的概念，他的學生們進行了完整的研究。布爾巴基學派的《一般拓撲學》亦對拓撲空間理論進行了補充和總結。
此外，美國數學家斯通研究了剖分空間的可度量性，1948年證明了度量空間是仿緊的等結果。捷克數學家切赫建立起緊緻空間的包絡理論，為一般拓撲學提供了有力工具。他的著作《拓撲空間論》於1960年出版。近幾十年來拓撲空間理論仍在繼續發展，不斷取得新的成果。
同倫
設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射，若存在連續映射H：X×I→Y使得：
H(x，0)=f(x)
H(x，1)=gx∈X
則稱f與g同倫，記為f≃g：X→Y或f≃g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{h}，h連續地依賴於t且h=f，h=g，即當參數t從0變到1時，映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切連續映射之集，則同倫關係≃是C[X，Y]上等價關係，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續映射，若對每個x∈X，點f(x)與g(x)可由Y中線段連結，則f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設X，Y與Z均為拓撲空間，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，則gf≃gf： X→Z。
設X，Y為拓撲空間，若存在連續映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Id且f·g≃id。這Id、id均表示恆同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x∈X，使得常值映射C：X→X。x→x與映射id同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條：(1)id≃0，即恆同映射id零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g：Z→X，g≃0。
設A是空間X的子空間，i：A→X表包含映射，若存在連續映射r：X→A，使得r|=id(或r·i=id)，則r稱為X到A的保核收縮，A稱為X的收縮核。若有保核收縮r：X→A滿足i·rid：X→X，則H稱為X到A的形變收縮，A稱為X的形變收縮核，若同倫H還滿足對任意x∈A和t∈I有H(x，t)=x，則H稱為X到A的一個強形變收縮，A稱為X的強形變收縮核。強形變收縮是形變收縮，且若A是X的形變收縮核，則內射i：A→X是同倫等價。
兩個拓撲空間X和Y同倫等價的充要條件是：存在空間Z，使得X與Y分別同胚於Z的兩個強形變收縮核。
倫型相同的拓撲空間所共有的性質稱為同倫不變數。由於同胚的空間必同倫，故同倫不變數一定是拓撲不變數。代數拓撲學主要研究空間的同倫。
設A為空間X的子空間，序偶 (X，A) 稱為空間偶，連續映射f： X→Y，把A映到Y的子空間B內，則記f：(X，A)→(Y，B)。若有連續映射f：(X，A)→(Y，B)，g：(Y，B)→(X，A)使得g·f=id，f·g=idY，則f為空間偶的同胚。同樣有偶的同倫的概念。若有偶的同倫：fg：(X，A)→(Y，B)滿足：對任意t∈I，x∈A有H(x，t)=f(x)=g(x)，稱f和g相對於A同倫，記作：
同倫映射當A為空集∅時，相對同倫就是一般同倫。設A⊂X，則A是X的強形變收縮核的充要條件是：存在收縮映射(保核收縮)r：X→A使得ir≃id：X→XrelA，其中i：A→X為內射。
