概念
同倫運算元(homotopy operator)是具有同倫性質的線性變換。設f，f是兩個微分流形M，N之間的C 映射，則有誘導映射：
δf：E (N)→E (M) (i=1，2)，
k為非負整數，對於這些誘導映射，若存在一組線性變換h：E (N)→E (M)，使得
同倫運算元則稱這組線性變換{h}為f與f的同倫運算元。可以看出龐加萊引理中的{h}也是同倫運算元。
同倫
設f、g是拓撲空間X到Y的兩個連續映射，若存在連續映射H：X×I→Y使得：
H(x，0)=f(x)
H(x，1)=gx∈X
則稱f與g同倫，記為f≃g：X→Y或f≃g，映射H稱為f與g之間的一個同倫。f與g的同倫H也可理解為單參數映射族{h}，h連續地依賴於t且h=f，h=g，即當參數t從0變到1時，映射f連續地形變為g。與常值映射同倫的映射稱為零倫的。若以C[X，Y]表示X到Y的一切連續映射之集，則同倫關係≃是C[X，Y]上等價關係，每個等價類稱為一個同倫類，同倫類的全體所成集記為[X，Y]。設Y是R的子空間，f，g：X→Y是連續映射，若對每個x∈X，點f(x)與g(x)可由Y中線段連結，則f≃g：X→Y，若Y是R中凸集，任何映射f：X→Y都零倫，即[X，Y]僅含一個元素。設X，Y與Z均為拓撲空間，若f≃f：X→Y，g≃g： Y→Z，則gf≃gf： X→Z。
設X，Y為拓撲空間，若存在連續映射f：X→Y和g：Y→X，使得gf≃Id且f·g≃id。這Id、id均表示恆同映射，則稱f為同倫等價，g為f的同倫逆，而將X與Y稱為具有相同的倫型，或簡稱同倫的，記作X≃Y。與單點空間同倫的空間稱為可縮的，或者存在x∈X，使得常值映射C：X→X。x→x與映射id同倫，空間X可縮。R和R中凸集均為可縮空間。同倫關係是拓撲空間之間的等價關係。X可縮等價於下列幾條中任意一條：(1)id≃0，即恆同映射id零倫。(2) 對任意空間Y，映射f：X→Y，有f≃0。(3)對任意空間Z和連續映射g：Z→X，g≃0。
設A是空間X的子空間，i：A→X表包含映射，若存在連續映射r：X→A，使得r|=id(或r·i=id)，則r稱為X到A的保核收縮，A稱為X的收縮核。若有保核收縮r：X→A滿足i·rid：X→X，則H稱為X到A的形變收縮，A稱為X的形變收縮核，若同倫H還滿足對任意x∈A和t∈I有H(x，t)=x，則H稱為X到A的一個強形變收縮，A稱為X的強形變收縮核。強形變收縮是形變收縮，且若A是X的形變收縮核，則內射i：A→X是同倫等價。
兩個拓撲空間X和Y同倫等價的充要條件是：存在空間Z，使得X與Y分別同胚於Z的兩個強形變收縮核。
倫型相同的拓撲空間所共有的性質稱為同倫不變數。由於同胚的空間必同倫，故同倫不變數一定是拓撲不變數。代數拓撲學主要研究空間的同倫。
設A為空間X的子空間，序偶 (X，A) 稱為空間偶，連續映射f： X→Y，把A映到Y的子空間B內，則記f：(X，A)→(Y，B)。若有連續映射f：(X，A)→(Y，B)，g：(Y，B)→(X，A)使得g·f=id，f·g=idY，則f為空間偶的同胚。同樣有偶的同倫的概念。若有偶的同倫：f≃g：(X，A)→(Y，B)滿足：對任意t∈I，x∈A有H(x，t)=f(x)=g(x)，稱f和g相對於A同倫，記作：
同倫運算元當A為空集∅時，相對同倫就是一般同倫。設A⊂X，則A是X的強形變收縮核的充要條件是：存在收縮映射(保核收縮)r：X→A使得ir≃id：X→XrelA，其中i：A→X為內射。
線性變換
未知數的線性變換，是一組(m個)未知數，x，…，x到另一組(n個)未知數y1，y，…，yn的一個變換，使得新未知數用原未知數線性地表出：
同倫運算元其中係數a(i=1，2，…n，j=1，2，…，m)為常數。例如，歐氏空間中的旋轉，是一種線性變換。
更一般地，設L是線性空間的一個把向量X、X分別變換為向量Y，Y2的變換，若在變換L下，線性組合aX+aX2變換為aY1+aY2，則稱變換L為線性變換。
微分流形
設M是仿緊豪斯道夫 (Hau-sdorff)空間，且是拓撲流形，稱A= {(U，Ф)|α∈P}是它的地圖，如果{U|α∈P}是M的開覆蓋，Ф是從U到n維歐氏空間R的某開集上的同胚。(U，Φ)稱為坐標卡。如果兩個坐標卡 (U，Ф)，(Uβ，Φ) 滿足U∩U≠Φ，則稱Φ·Ф ：Φ(U∩U) →Φ(U∩U) 和Φ·Φ ： Φβ(U∩U) →Ф(U∩U) 為U∩U上的坐標變換。如果A的所有坐標變換都是C 可微的，則稱A為一個C 地圖，其中1≤r≤∞。r也可等於ω，此時A稱為解析地圖。拓撲流形M的坐標卡 (U，Φ) 稱為與A是C 相容的，如果任意(U，Φ) ∈A，坐標變換Φ·Φ Φ·Φ 均C可微。拓撲流形M的C 地圖A稱為最大的，如果它包含M的所有與之C 相容的坐標卡。M上的最大C 地圖A稱為M的C 微分結構。(M，A)稱為C 微分流形，或簡稱為C 流形。當r=∞時，C 微分結構也稱為光滑結構，C 流形也稱為光滑流形。r=ω時，C 結構也稱為解析結構，C 流形稱為解析流形。C 流形(M，A)有時也簡記為M。
從直觀上看，拓撲流形是局部歐氏空間，局部之間用同胚映射(坐標變換)貼上在一起。n維C 流形，不僅局部同胚於n維歐氏空間，而且局部之間是用C 光滑、且其逆也C 光滑的坐標變換貼上在一起。
兩個C 流形M和N，f：M→N是連續映射，且任一點P∈M，有包含P點的M中的坐標卡(U，Φ)以及包含f(P)的N中的坐標卡(V，φ)，使得f(U)⊂V，同時，映射φ°f°Φ：Φ(U)→φ(V)是C 光滑的(1≤r≤∞或r=ω)，則稱f是C 映射。C 映射也稱為光滑映射，C 映射也稱為解析映射。其中φ f φ 稱為f的局部表示。
C 流形M和N之間的同胚f：M→N，如果f和f 均是C 映射，則稱f是C 微分同胚。
(M，A)是C 微分流形，A是C 結構，若1≤r≤s≤∞，則A中包含M的C 結構A′。且此Cs微分結構A′在相差一個C 微分同胚的意義下是唯一的，此時我們稱A與A′相容。此結果歸功於惠特尼。同樣，一個C結構也允許相容的實解析結構。這就是說當1≤r<s≤∞時C 流形與C 流形無本質區別，特別地C 流形與C 流形無本質區別。但如果我們把不存在微分結構的拓撲流形稱為C流形，則C 流形與C 流形有本質區別。存在不允許任何微分結構的拓撲流形，這樣的流形維數最小是四維，已經知道的例子是八維的。
一個拓撲流形M如果存在兩個C 微分結構A與A′，使微分流形(M，A)與(M，A′)不是C 微分同胚的，則稱A與A′相異。米爾諾(Milnor)證明七維球S 存在多個相異的C 微分結構。這種與普通球S同胚，但不是C 微分同胚的C 微分流形稱之為怪球。在討論這類問題過程中的一個重要有趣的問題是：“一個光滑流形M，使得M-{P}可縮，其中P是M中任一點，能否引出M同胚於一個球?”對於M的維數n，當n=0，1，2時，M微分同胚於n維球S;當n=3時，歸結為龐加萊猜想;n=4時也未解決;n≥5時，問題結論成立。
微分流形與組合流形的關係，即C剖分與光滑化問題。給n維C 流形(1≤r≤∞)的一個單純剖分(k，f) (f：|k|→M是同胚)滿足：(1)對於|k|的每個閉n單形σ，f|σ是C 映射。(2)f|σ的雅可比矩陣的秩在每點均是n，則稱(k，f)是M的C 剖分，也稱M的C 結構與剖分(k，f)是C 相容的。有下面結果：(1)每個C 流形均具有C 剖分，且邊緣的C 剖分可擴張為整個C 流形的Cr剖分。(2)對於C 流形M的C 剖分(k，f)，已剖分的空間(k，f，M)是組合流形。(3)對於同一C 流形M的兩個不同的C 剖分(k，f)和(k，f)，(k，f，M)和(k，f，M)組合等價。
反之，如果對於組合流形M，存在M上的微分結構，使剖分(k，i) (其中i：|k|→M是恆等映射)是Cr相容的，則稱之為M的光滑化。現已證明，對於n≤7時，任意n維組合流形可光滑化。
