直線與方程
直線的傾斜角和斜率
教學目標:
知識與技能
(1) 正確理解直線的傾斜角和斜率的概念．
(2) 理解直線的傾斜角的唯一性.
(3) 理解直線的斜率的存在性.
(4) 斜率公式的推導過程，(5) 掌握過兩點的直線的斜率公式．
情感態度與價值觀
(1) 通過直線的傾斜角概念的引入學習和直線傾斜角與斜率關係的揭示，培養學生觀察、探索能力，運用數學語言表達能力，數學交流與評價能力．
(2) 通過斜率概念的建立和斜率公式的推導，幫助學生進一步理解數形結合思想，培養學生樹立辯證統一的觀點，培養學生形成嚴謹的科學態度和求簡的數學精神．
重點與難點: 直線的傾斜角、斜率的概念和公式.
教學用具：計算機
教學方法：啟發、引導、討論.
教學過程：
直線的傾斜角的概念
（一） 直線的傾斜角的概念
我們知道, 經過兩點有且只有(確定)一條直線. 那么, 經過一點P的直線l的位置能確定嗎? 如圖, 過一點P可以作無數多條直線a,b,c, 顯而易見,答案是否定的.這些直線有什麼聯繫呢?
(1)它們都經過點P. (2)它們的‘傾斜程度’不同. 怎樣描述這種‘傾斜程度’的不同?
引入直線的傾斜角的概念:
當直線l與x軸相交時, 取x軸作為基準, x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當直線l與x軸平行或重合時, 規定α= 0°.
問: 傾斜角α的取值範圍是什麼? 0°≤α<180°.
當直線l與x軸垂直時, α= 90°.
因為平面直角坐標系內的每一條直線都有確定的傾斜程度, 引入直線的傾斜角之後, 我們就可以用傾斜角α來表示平面直角坐標系內的每一條直線的傾斜程度.
如圖, 直線a∥b∥c, 那么它們的傾斜角α相等嗎? 答案是肯定的.所以一個傾斜角α不能確定一條直線.
確定平面直角坐標系內的一條直線位置的幾何要素: 一個點P和一個傾斜角α.
(二)直線的斜率:
一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα
⑴當直線l與x軸平行或重合時, α=0°, k = tan0°=0;
⑵當直線l與x軸垂直時, α= 90°, k 不存在.
由此可知, 一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.
例如, α=45°時, k = tan45°= 1;
α=135°時, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1.
學習了斜率之後, 我們又可以用斜率來表示直線的傾斜程度.
(三) 直線的斜率公式:
給定兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率?可用計算機作動畫演示: 直線P1，P2的四種情況, 並引導學生如何作輔助線,
共同完成斜率公式的推導.(略)
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
對於上面的斜率公式要注意下面四點：
(1) 當x1=x2時，分母為零，公式無意義；傾斜角α= 90°, 直線與x軸垂直，直線的斜率不存在；
(2) k與P1、P2的順序無關, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前後次序可以同時交換,（y2-y1/x2-x1=y1-y2/x1-x2） 但分子與分母不能交換;
(3) 斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得;
(4) 當 y1=y2時, 斜率k = 0, 直線的傾斜角α=0°，直線與x軸平行或重合.
(5) 求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到．
(四）直線方程的五種形式
| 名稱 | 方程 | 適用範圍 |
| 點斜式 | y-y0=k(x-x0) | 不含垂直於x軸的直線 |
| 斜截式 | y=kx+b | 不含垂直於x軸的直線 |
| 兩點式 | y-y1/y2-y1=x-x1/x2-x1 | 不含直線x=x1(x1不等於x2)和直線y=y1(y1不等於y2) |
| 截距式 | x/a+y/b=1 | 不含垂直於坐標軸和過原點的直線 |
| 一般式 | Ax+By+C=0(A^2+B^2不等於0） | 平面直角坐標系內的直線都適用 |
(五)例題:
例1 、已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直線AB, BC, CA的斜率, 並判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角.(用計算機作直線, 圖略)
分析: 已知兩點坐標, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k的值;
而當k <0時, 傾斜角α是鈍角;
而當k >0時, 傾斜角α是銳角;
而當k =0時, 傾斜角α是0°.
略解: 直線AB的斜率k1=1/7>0, 所以它的傾斜角α是銳角;
直線BC的斜率k2=-0.5<0, 所以它的傾斜角α是鈍角;
直線CA的斜率k3=1>0, 所以它的傾斜角α是銳角.
例2 在平面直角坐標系中, 畫出經過原點且斜率分別為1, -1, 2, 及-3的直線a, b, c, l.
分析:要畫出經過原點的直線a, 只要再找出a上的另外一點M. 而M的坐標可以根據直線a的斜率確定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原點為角的頂點,x 軸的正半軸為角的一邊, 在x 軸的上方作45°的角, 再把所作的這一邊反向延長成直線即可.
略解: 設直線a上的另外一點M的坐標為(x,y),根據斜率公式有
1=(y－0)/(x－0) 所以 x = y
可令x = 1, 則y = 1, 於是點M的坐標為(1,1).此時過原點和點 M(1,1), 可作直線a.
同理, 可作直線b, c, l.(用計算機作動畫演示畫直線過程)
直線與方程知識點總結
直線的方程：主要學習直線方程的五種形式，應理解並記憶公式的內容。
特別要搞清各個公式的適用範圍：點斜式和斜截式需要斜率存在，而兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，截距式不能表示過原點及與坐標軸垂直的直線。
一般式雖然可表示任意直線但它所含的變數多，故在運用時要靈活選擇公式，不丟解不漏解。
