疊代函式

疊代算法是用計算機解決問題的一種基本方法。它利用計算機運算速度快、適合做重複性操作的特點,讓計算機對一組指令(或一定步驟)進行重複執行,在每次執行這組指令(或這些步驟)時,都從變數的原值推出它的一個新值。在數學中，疊代函式是在碎形和動力系統中深入研究的對象。疊代函式是重複的與自身複合的函式，這個過程叫做疊代。 在數學中，疊代函式是在碎形和動力系統中深入研究的對象。疊代函式是重複的與自身複合的函式，這個過程叫做疊代。

介紹

通過疊代，可以發現有向一個單一點收縮和會聚的一個集合。在這種情況下，會聚到的這個點叫做吸引不動點。反過來說，疊代也可以表現得從一個單一點發散；這種情況叫不穩定不動點。
當軌道的點會聚於一個或多個極限的時候，軌道的會聚點的集合叫做極限集合或ω-極限集合。
吸引和排斥的想法類似推廣；依據在疊代下小鄰域行為，可把疊代分類為穩定集合和不穩定集合。
其他極限行為也有可能；比如，遊蕩點是總是移動永不回到甚至接近起點的點。

定義

疊代函式

在集合上的疊代函式的形式定義為:

疊代函式

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疊代函式

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設是集合和是函式。定義 的次疊代為而 ，這裡的是在 的恆等函式。

疊代函式

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在上述中， 指示函式複合；就是說。

從疊代建立序列

疊代函式

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函式的序列叫做 Picard 序列，得名於Charles Émile Picard。對於一個給定，的值的序列叫做的 軌道。

疊代函式

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如果對於某個整數有，則軌道叫做 周期軌道。對於給定最小的這種值叫做 軌道的周期。點自身叫周期點。

不動點

如果m=1，就是說如果對於某個 X中的 x有 f( x) = x，則 x被稱為疊代序列的 不動點。不動點的集合經常指示為 Fix（ f）。存在一些不動點定理保證在各種情況下不動點的存在性，包括巴拿赫不動點定理和Brouwer不動點定理。

有很多技術通過不動點疊代產生了序列收斂加速。例如，套用於一個疊代不動點的Aitken方法叫做Steffensen方法，生成二次收斂。 不動點理論同樣也適用於經濟學領域。

極限行為

通過疊代，可以發現有向一個單一點收縮和會聚的一個集合。在這種情況下，會聚到的這個點叫做吸引不動點。反過來說，疊代也可以表現得從一個單一點發散；這種情況叫不穩定不動點。

當軌道的點會聚於一個或多個極限的時候，軌道的會聚點的集合叫做 極限集合或 ω-極限集合。

吸引和排斥的想法類似推廣；依據在疊代下小鄰域行為，可把疊代分類為穩定集合和不穩定集合。

其他極限行為也有可能；比如，遊蕩點是總是移動永不回到甚至接近起點的點。

例子

著名的疊代函式包括曼德博集合和疊代函式系統。

如果 f是一個群元素在一個集合上的作用，則疊代函式對應於自由群。