基本信息
很多俗語，其實都是人們對經驗的概括。它們未必很準確，卻總是有些道理。如果我們嘗試數學的眼光去分析這些俗語，又會得到什麼結果呢？
作者介紹
方弦
偽裝成數學系學生的計算機系學生。
論文介紹
上得山多終遇虎
靠山吃山靠水吃水，住在山邊的人，饞了上山打獵，病了上山採藥，總之是經常與大自然親密接觸。但是，在古代，環境還沒有被破壞得這么厲害，山上有老虎是常有的事。儘管一隻老虎的領地可達數平方公里，它也不是天天在領地閒逛，所以上山打一次獵遇到老虎的機率也不高。但對於那些天天上山打獵的老獵人來說，在職業生涯中一次老虎都沒有遇到過，倒是件稀有的事。所謂“上得山多終遇虎”，大概就是指的這種情況。
假設獵人每次上山打獵，遇到老虎的機率是p，也就是說遇不到老虎的機率是1-p。那么，在m次打獵中，每次都沒有遇到過老虎的機率就是(1-p)^m。只要有可能遇到老虎，相當於說p>0，當m越來越大時，(1-p)^m就越來越小，趨向於0，也就是說，儘管每次倒霉遇上老虎的機率不高，但如果每天都去打獵的話，總有一天會倒霉的。
可能有人會反過來想：我每次買彩票，中頭獎的機率不是0，那么，總有一天我會中頭獎的。這種想法既對又不對，理論上來說，的確一直買下去的話總有一天會中獎，但是大概要買多少遍才會中頭獎呢？以36選7為例，中頭獎的機率是1/C(36,7)，所以大概要買C(36,7)期會有一期中頭獎，那是大概八百萬期，也就是大概兩萬年。兩萬年後，福彩是否存在還是個問題。
而對於獵人來說，每次上山遇虎的機率顯然沒有那么低。要是聽到虎嘯也算遇虎的話，千分之一應該算是一個不錯的估算。這樣算來，大概打一千次獵就會有一次遇到老虎，對於經常上山的獵人來說大概十多年就有這個數了，難怪“上得山多終遇虎”。
現在環境破壞得嚴重，要“遇虎“，大概只能到動物園去了，山里反倒非常安全。“盛世出猛虎”之類的，只能是笑話了。
坐吃山空
“坐吃山空”，大概是告誡那些只願吃閒飯不願幹活的人，無論家裡有多少錢，總有一天要吃光的。
在忽略貨幣變化的前提下，假設家裡的存款是M，一頓飯只需要花費m，這些存款也只能支撐M/m頓飯，也就是說是不可能永遠吃閒飯吃下去的。
用數學的語言來說，只要m不是0，無論m多么小，將很多同樣的m加起來，我們可以得到要多大有多大的數。這種性質叫做實數的阿基米德性質。
利用阿基米德性質，我們能解釋0.999...=1的問題。假設p=1-0.999...，如果p不等於0的話，p就是一個正實數。根據阿基米德性質，總存在一個整數M，使得M*p>=1。於是p=1-p=0.999...。然而，這是不可能的，因為1/M總會在小數點後某一位開始非0，導致1-1/M不等於0.999...。這個矛盾表明我們的假設是錯誤的，也就是說其實0.999...=1。
很多我們常見的數都有阿基米德性質，比如說有理數，實數，複數。當然，對於複數來說，“要多大有多大”就要重新定義了，一般是用它的範數——也就是在複平面上與原點的距離——來定義的。在複數裡邊，就應該講是可以得到範數要多大有多大的數。
也有一些數是沒有阿基米德性質的，比如說p進數。它們的結構普遍比實數的要複雜得多，也能表達更多的東西。
用數學的眼光看世界久賭必輸
從來只聽過開賭場而富甲一方的，沒聽過有賭徒能通過賭博而過上幸福生活的，反倒是家破人亡的不計其數。在賭場賭博的話，既有抽頭，賭局也是對賭場有利的。說難聽點，去賭場賭錢就相當於直接送錢給賭場老闆。就算是一對一機會均等的賭局，要是一直賭下去的話，也總有一天會輸光的。這就是“久賭必輸”。
假設每盤賭局的賭注是1，而賭徒的財產是n。在每盤賭局中，賭徒有1/2的機率贏，有1/2的機率輸。那么，如果一直這樣賭下去的話，賭徒輸光的機率是多少呢？
顯然，賭徒的錢越多，輸光需要的局數也越多。當賭徒的財產是n時，我們記輸光的機率為p(n)。因為每次賭局有一半的可能贏，一半的可能輸，贏的時候財產變成n+1，輸的時候變成n-1，所以p(n)=(p(n+1)+p(n-1))/2。當n=0的時候，即使不用賭，所有東西都輸光了，所以p(0)=1。
所以，p可以看作一個滿足下列遞推關係的數列：
p(0)=1
p(n+1)=2p(n)-p(n-1)，也就是p(n+1)-p(n)=p(n)-p(n-1)
容易驗證p(n)=n*p(1)-(n-1)正好符合上面的遞推關係。因為p(n)>=0，所以對於任意的n，必定有p(1)>=1-1/n，所以p(1)=1，從而對於所有的n，p(n)=1。在無限次的賭博中，賭徒在某一次賭博中輸光的機率是1。
賭徒的賭博軌跡，可以用所謂的馬爾可夫鏈來描述。賭徒的財產作為狀態，而每次賭局相當於在這些狀態之間轉移，贏錢時轉移到錢多些的狀態，輸錢時轉移到錢少些的狀態。而破產的狀態就像個陷阱，是跳不出的，因為已經沒有賭本了。如果一條有限的馬爾可夫鏈有這樣的“陷阱”狀態，而每一個狀態都有可能到達“陷阱”的話，在不斷的轉移中，總有一天會掉到“陷阱”里去。而即使是無限的馬爾可夫鏈，在賭徒和擁有無限本錢的賭場之間，即使是平等的對賭，由於賭徒賭本有限，也總有一天會輸光。所謂“久賭必輸”，其實說的就是這么一個道理。
用數學的眼光看世界