牛頓插值公式（Newton interpolation formula）是代數插值方法的一種形式。牛頓差值引入了差商的概念，使其在差值節點增加時便於計算。
差商
牛頓插值公式
牛頓插值公式
牛頓插值公式設函式 ，已知其n+1個插值節點為 ， ，我們定義：
牛頓插值公式
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牛頓插值公式在 的零階差商為 ；
牛頓插值公式 牛頓插值公式
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牛頓插值公式在點 與 的一階差商為
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牛頓插值公式
牛頓插值公式在點 ， ， 的二階插商為
牛頓插值公式
牛頓插值公式一般的， 在點 的k 階差商為
牛頓插值公式
牛頓插值公式
牛頓插值公式可將k階差商 表示為函式值 的組合：
牛頓插值公式公式推導
牛頓插值公式先寫出 的各階差商：
牛頓插值公式；
牛頓插值公式；
牛頓插值公式
牛頓插值公式分別變形可得：
牛頓插值公式；
牛頓插值公式；
牛頓插值公式
牛頓插值公式依次代入，可得牛頓差值公式：
牛頓插值公式
牛頓插值公式可記為：
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牛頓插值公式其中，為牛頓差值公式的餘項或截斷誤差，當n趨於無窮大時為零。
等間距差值公式
取節點間距為h，可導出等間距牛頓差值公式。（以向前差分為例）
牛頓插值公式
牛頓插值公式的n 階向前差分公式為：
等間距牛頓差值公式：
牛頓插值公式
牛頓插值公式實例
下圖為給定節點值利用牛頓差值擬合函式值得實例 ：
牛頓插值算例公式意義
牛頓差值作為一種常用的數值擬合方法，因其計算簡單，方便進行大量差值點的計算，且邏輯清楚，便於編程計算，在實驗分析中具有廣泛的套用。
特別是實驗中經常出現只能測量得到離散數據點的情況，或者只能用數值解表示某對應關係之時，可以使用牛頓插值公式，對離散點進行擬合，得到較為準確的函式解析值。
