梯形法則
梯形法則是:
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這等同將被積函式近似為直線函式,被積的部分近似為梯形。
要求得較準確的數值,可以將要求積的區間分成多個小區間,再個別估計,即:
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可改寫成
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其中對
辛普森法則
辛普森法則(Simpson's rule,又稱 森遜法則、 辛普森法則)是:
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同樣地,辛普森法則也有多重的版本:
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或寫成
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牛頓-柯特斯公式
牛頓-柯特斯公式(Newton-Cotes rule / Newton-Cotes formula)以Roger Cotes和艾薩克·牛頓命名。其內容是:
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其中 , 是常數(由 的值決定), 。
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梯形法則和辛普森法則便是 的情況。
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亦有不採用在邊界點來估計的版本,即取 。
原理
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假設已知的值。
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以點進行插值,求得對應的拉格朗日多項式。
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對該次的多項式求積。
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該積分便可以作為的近似,而由於該拉格朗日多項式的係數都是常數(由決定其值),所以積函式的係數(即)都是常數。
缺點
對於次數較高的多項式而有很大誤差(龍格現象),不如高斯積分法。