混料設計

混料問題，是工農業生產及科學試驗中經常遇到的一個問題。試驗者要通過試驗得出各種成分比例與指標的關係。例如，某種不鏽鋼由鐵、鎳、銅和鉻四種元素組成，我們想知道每種元素所占比例與抗拉強度的數量關係。怎樣的試驗就可以得到精度較好而且易於計算的回歸方程？這是一種特殊的回歸設計問題，試驗指標，如不鏽鋼的抗拉強度，僅與各種成分，如鐵、鎳、銅和鉻所占的百分比有關係，而與混料的總數量沒有關係。

什麼是混料問題?
配方配比問題，是工農業生產及科學試驗中經常遇到的一個問題。試驗者要通過試驗得出各種成分比例與指標的關係。例如，某種不鏽鋼由鐵、鎳、銅和鉻四種元素組成，我們想知道每種元素所占比例與抗拉強度的數量關係。怎樣的試驗就可以得到精度較好而且易於計算的回歸方程？這是一種特殊的回歸設計問題，試驗指標，如不鏽鋼的抗拉強度，僅與各種成分，如鐵、鎳、銅和鉻所占的百分比有關係，而與混料的總數量沒有關係。混料回歸設計就是要合理地選擇少量的試驗點，通過一些不同百分比的組合試驗，得到試驗指標成分百分比的回歸方程，通過探索回響曲面來估計多分量系統的內在規律。
自從Scheffe一九五八年提出單純形格子設計以來，混料回歸設計的理論和它的套用都有很大發展。人們針對各種數學模型、試驗區域與各種意義下的“最優性”提出了各種設計方法與分析計算法。混料回歸設計在工業、農業和科學試驗中都得到廣泛的套用。在工業試驗方面，如汽油混合物、混凝土、聚合物塑膠、合金、陶瓷、油漆、食品、醫藥、洗滌劑、混紡纖維及燒結礦等產品都會遇到混料回歸設計問題。
在混料試驗中，每個分量的貢獻都要表示成混料或合成的比例。每個分量的比例必須是非負的，而且它們的總和必須是1，這就決定了混料回歸設計是一種受特殊約束的回歸設計問題。用Y表示試驗指標，X1、X2、……、Xn表示混料系統中n種成分各占的百分比，混料回歸設計就是要在混料條件
Xi≥ 0 (i＝1，2，……，n) X1＋X2＋……＋Xn＝1 (1)
或者除混料條件(1)之外，再加上一些其他條件的約束下，合理地安排試驗，得出關於Y的回歸方程，使得分析容易、準確，便於計算和推測最佳混料比。
混料條件(1)決定了混料回歸設計中的數學模型，不同於一般回歸設計中所採用的數學模型，一般回歸設計中採用的模型是多項式，而混料回歸設計不能採用一般的多項式，否則會由於混料條件(1)的限制而引起信息矩陣退化。混料回歸設計中常採用稱為Scheffe多項式的數學模型。例如，一般的三元二次回歸方程為：
y＝b0＋ΣbiXi＋ΣbiiXi2＋ΣbijXiXj (2)
而混料設計中的三分量二次回歸方程為：
y＝ΣbiXi＋ΣbijXiXj (3)
它沒有常數項與平方項，只有一次項與交叉項。
混料回歸設計中一般的三分量二次多項式回歸方程的形式為(3)。
一般情況，混料回歸設計的分量多項式回歸方程常採用下述形式給出：
混料設計的多項式回歸方程：
二次式 y＝ΣbiXi＋ΣbijXiXj (4)
不完全三次式 y＝ΣbiXi＋ΣbijXiXj＋ΣbijkXiXjXk (5)
完全三次式 y＝ΣbiXi＋ΣbijXiXj＋ΣrijXiXj(Xi－Xj)＋ΣbijkXiXjXk (6)
還有更複雜的高次方程……，稱為Scheffe多項式回歸方程或規範多項式回歸方程。
在混料問題中，各分量n的變化範圍要受條件(1)的限制。在幾何上，各分量Xi的變化範圍可由一個(n－1)維正規單純形來表示。頂點代表單一成分組成的混料，棱上點代表兩種成分組成的混料，面上的點代表多於兩種而少於n 種成分組成的混料，而內部的點則是代表全部n種成分組成的混料。當混料的分量Xi除受約束條件(1)限制外還要受其他約束條件限制時，因子空間變得更加複雜，是正規單純形內的一個幾何體。例如兼有上、下界約束的n分量混料問題的因子空間是(n－1)維正規單純形內的一個凸多面體。
平面上的正規單純形是等邊三角形，三維空間的正規單純形是正四面體，當維數高於三時正規單純形不能用圖畫出。下面我們以分量數n＝3為例說明為什麼約束條件(1)的點只能取在正規單純形上。取空間直角坐標系0－X1 X2 X3分別在三個坐標軸上取三點A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，由於約束條件(1)的限制，則各分量Xi只能在△ABC上取值，也就是說,三成分系統的試驗點只能取在二維正規單純形的等邊三角形上。為簡便計，使用時將不再畫出三個坐標軸，只畫出一個等邊三角形就可以了，取此等邊三角形的高為1，則此等邊三角形內任一點F到三邊距離之和是1。
這樣，我們可以把FA’長度看成是F 點的Xi坐標值，把FB’與FC’的長度分別看成是F的X2值與X3值，在等邊三角形上建立起“二維正規單純形坐標系”或“二維重心坐標系”。同樣地，我們可以在三維(或多維)空間內取一個高為1的正規單純形，則此正規單純形內任一點到各個面的距離之和是1，我們可以把此點到各個面的距離分別看成是相應的坐標，建立起三維(或多維)正規單純形坐標系或重心坐標系。