泛性質
泛包絡代數 泛包絡代數
泛包絡代數
泛包絡代數 泛包絡代數以下固定域 。首先注意到：對任意帶乘法單位元的 -結合代數 ，定義括積 ，可視 為李代數。
泛包絡代數
泛包絡代數泛包絡代數系指帶單位元的結合代數 及一個指定的李代數同態 。這對資料由下述泛性質刻劃：
泛包絡代數
泛包絡代數對任意帶乘法單位元的 -結合代數 ， 若存在李代數同態
泛包絡代數則存在唯一的代數同態
泛包絡代數使之滿足
泛包絡代數
泛包絡代數換言之，函子 滿足下述關係：
泛包絡代數
泛包絡代數
泛包絡代數 泛包絡代數
泛包絡代數藉此，可視 為 （單位結合代數） （李代數）的左伴隨函子。
構造方式
泛包絡代數
泛包絡代數
泛包絡代數首先考慮張量代數 ，此時有自然的包含映射 。取 為下列元素生成的雙邊理想
泛包絡代數定義
泛包絡代數
泛包絡代數 泛包絡代數
泛包絡代數所求的映射 為 與商映射的合成。容易驗證 保存李括積。
根據上述構造，可直接驗證所求的泛性質。
基本性質
泛包絡代數 泛包絡代數 泛包絡代數若 可交換，則 亦然；此時 同構於多項式代數。
泛包絡代數
泛包絡代數 泛包絡代數 泛包絡代數若 來自李群 ，則 可理解為 上的左不變微分運算元。
泛包絡代數
泛包絡代數
泛包絡代數的中心 顯然包含 ，但不僅如此，通常還包括更高階的元素，例如喀希米爾元素；這種元素給出李群上的拉普拉斯運算元。
龐加萊-伯克霍夫-維特定理
主條目：龐加萊-伯克霍夫-維特定理
泛包絡代數
泛包絡代數龐加萊-伯克霍夫-維特定理是泛包絡代數的根本定理之一。取定有限維李代數 的基 ，此定理斷言
泛包絡代數 泛包絡代數 泛包絡代數是 的基。此定理的直接推論是： 為單射。
表示理論
泛包絡代數 泛包絡代數 泛包絡代數 泛包絡代數
泛包絡代數在泛性質中取 ，其中 為任意向量空間，遂可等同 的表示與 的表示，後者不外是 模。藉此觀點，李代數表示理論可視為模論的一支。
群代數之於群表示一如泛包絡代數之於李代數的表示。兩者都具有霍普夫代數結構。
