定義
把向量外積定義為：
|a × b| = | a|·| b|·sin< a, b>.
方向根據右手法則確定，就是手掌立在 a、 b所在平面的向量 a上，掌心向 b，那么大拇指方向就是垂直於該平面的方向，被規定為外積的方向。
運算
向量外積的代數運算形式為：
| e(i) e(j) e(k)|
a× b=| x(a) y(a) z(a) |
| x(b) y(b) z(b) |
這個行列式，按照第一行展開。 e表示標準單位基。
分配律的幾何證明方法很繁瑣，大意是用作圖的方法驗證。有興趣的話請自己參閱參考文獻中的證明。
下面給出代數方法。我們假定已經知道了：
1）外積的反對稱性：
a× b= - b× a.
這由外積的定義是顯然的。
2）內積（即數積、點積）的分配律：
a·（ b+ c）= a· b+ a· c,
（ a+ b）· c= a· c+ b· c.
這由內積的定義 a· b= | a|·| b|·cos< a, b>；，用投影的方法不難得到證明。
3）混合積的性質：
定義（ a× b）· c為向量 a, b, c的混合積，容易證明：
i) （ a× b）· c的絕對值正是以 a, b, c為三條鄰棱的平行六面體的體積，其正負號由 a, b, c的定向決定（右手係為正，左手係為負）。
從而就推出：
ii) a·（ b×c） =b·（ c×a） =c·（ a×b）
所以我們可以記 a, b, c的混合積為（ a, b, c）
推理
由i）還可以推出：
iii) （ a, b, c）= （ b, c, a）= （ c, a, b）
還有一條結論：
iv) 若一個向量 a同時垂直於三個不共面矢 a1, a2, a3，則a為零向量或高維空間向量。
下面我們就用上面的1）2）3）來證明外積的分配律。
設r為空間任意向量，在 r·[ a×（ b + c）]里，交替兩次利用3）的ii）、iii）和數積分配律2），就有
r·[ a×（ b+ c）]
= （ r× a）·（ b + c）
= （ r× a）· b + （ r× a）· c
= r·（ a× b）+ r·（ a× c）
= r·（ a× b + a× c）
移項，再利用數積分配律，得
r·[ a×（ b + c）- （ a× b + a× c）] = 0
這說明向量 a×（ b + c）- （ a× b + a× c）垂直於任意一個向量。按3）的iv），這個向量必為零向量，即
a×（ b + c）- （ a× b + a× c）= 0
所以有
a×（ b + c）= a× b + a× c.
證畢。
三向量的外積
a×（ b×c） =（ a·c） b-（ a·b） c。
