現象
Poisson 分配
考慮下列現象：每小時服務台訪客的人數，每天家中電話的通數，一本書中每頁的錯字數，某條道路上每月發生車禍的次數，生產線上的疵品數，學生到辦公室找老師的次數……。大致上都有一些共同的特徵：在某時間區段內，平均會發生若干次「事件」，但是有時候很少，有時又異常地多，因此事件發生的次數是一個隨機變數，它所對應的機率函式稱為 Poisson 分配。
特性
一個 Poisson 過程有三個基本特性：
(1) 在一個短時間區間 $\Delta t$ 內，發生一次事件的機率與 $\Delta t$ 成正比： $\lambda \Delta t$。
(2) 在短時間內發生兩次以上的機率可以忽略。
(3) 在不重疊的時間段落里，事件各自發生的次數是獨立的。
各位可以驗證上述各種實際的例子，是不是相當符合 Poisson 過程的定義？
現令 P(k,T) 表示在時間區間 T 中發生 k 次事件的機率（注意 T 表示時間區間的長度，而不是絕對時間），由(1)(2)知 $P(1,\Delta t)=\lambda\Delta t$，且 $P(k,\Delta t)=0$, $k\geq 2$。現將 T 分割成 N 個短時間區段 （即 $T=N\Delta t$），利用 (3) 各時間區段出現之事件是獨立的條件，可知
\begin{eqnarray*} P(k,T)& \approx & C^N_k (\lambda \Delta t)^k(1-\lambda\Delta ... ...cdot \frac{(1-\frac{\lambda T})^N}{(1-\frac{\lambda T})^k} \end{eqnarray*}
固定 k，當 $N\RightArrow\infty$ 時
\beginP(k,T)=\frac{(\lambda T)^k}{k!}e^{-(\lambda T)} \quad (\MBOX{... ...{\MBQ\char 41}} (1+\frac{\alpha})^N\rightarrow e^{\alpha }) \end
由上可知 Poisson 分配是二項分配 B(N,p,q) 的一種極限，其中 Np= 常數 $\lambda T$，再讓 $N\rightarrow\infty$。另外，我們通常將 $\lambda T$ 記為 m，表示在時間區間 T 中，平均的發生次數（見下面習題）。
習題
(1) 驗證 $\sum_{k=0}^{\infty} P(k,T)=1$。
(2) 令 $P_X(k)=\frac{m^k}{k!}e^$, $k=1,2,3,\cdots$。求 E(X) 與 Var(X)。
(Ans. m, m.)
例.
一公司之電話通數大約每小時 20 通，求在 5 分鐘內一通電話也沒有的機率？每小時 20 通, 表示每分鐘平均 $\lambda =\frac$ 通/分。因此在 5 分鐘的時間區間中, 平均的電話通數為 $ m=\lambda T= \frac\times 5=\frac$。所以
\beginP(k)\;\equiv\;P(k,5)\;=\;\frac{(\frac)^k}{k!} e^{-\frac}, \quad k=0,1,2,\cdots\end
所以沒有一通電話的機率 $P(0)= e^{-\frac}\;\approx\; 0.19 $。有了 P(k)，我們可以回答許多類似的問題：在 5 分鐘內有 4 通電話的機率是 $P(4)=\frac{\frac^4}{4!}e^{-\frac}\approx 0. 06$，大概每十六次才有一次。在 5 分鐘內有超過 3 通電話的機率是
\begin\sum_{k=4}^{\infty}\frac{(\frac)^k}{k!} e^{-\frac... ...=0}^\frac{(\frac)^k}{k!} e^{-\frac}\approx 0.09\end
經計算這個機率分配的期望值 $= \frac$，標準差 $=\sqrt{\frac}\approx 1.29$。右圖是 P(k) 的圖形，當然由於 $k= 0,1,\cdots$，所以這只是部分圖形。讀者可與一般的二項分配的圖形比較。
$E(X)=\frac \approx 1.67 \;\sqrt{Var(X)}=\sqrt{\frac} \approx 1.29$
例. 下表是 1910 年 Rutherford 觀察放射性物質放射 α 粒子的記錄，每次觀察 7.5秒，共觀察 2608 次。
粒子數次數頻率P(k)
0570.0220.021
12030.0780.081
23830.1470.156
35250.2010.201
45320.2040.195
54080.1560.151
62730.1050.097
71390.0530.054
8450.0170.026
9270.0100.011
$\geq 10$160.0060.007
$m=\frac=3.87$
這裡 P(k)=P(k,7.5)，其中 $P(k)= \frac{m^k}{k!}e^$，m=3.87（見表最末欄），為 7.5 秒中 α 粒子放射之平均個數。可以看到，如果假設 α 粒子的放射是一 Poisson 過程，結果相當吻合。
例. 令一放射性物質在時間 t 時所含之放射性粒子總量為 N(t)，如果假設放射粒子是一 Poisson 過程，則在短時間 $\Delta t$ 後，
\beginN(t+\Delta t)-N(t)=-(\lambda \Delta t)N(t) \end
注意到 $(\lambda\Delta t)N(t)$ 是一期望值的形式。所以
\beginN'(t)\approx \frac{N(t+\Delta t)-N(t)}{\Delta t}=-\lambda N(t) \end
這可看成輻射定律的「證明」。
對外搜尋關鍵字：
．輻射定律
指數分配與排隊理論
令 W 表示在 Poisson 過程中，由開始到第一次事件發生的時間（這是一隨機變數）。由上節知
\begin{eqnarray*} P(W>t)&=&P( \mbox{{\MaQ\char 202}} [0,t] \mbox{{\MaQ\char 50... ...t minus0.1pt{\MbQ\char 222}} ) \\ &=&e^{-\lambda t}, \quad t>0 \end{eqnarray*}
但
\beginF_W(t)=P(W\leq t)=1-P(W>t) =1-e^{-\lambda t} \end
所以
\beginf_W(t)=F_W'(t)=\lambda e^{-\lambda t}, \quad t>0 \end
這個機率分配稱為指數分配。可計算得 $E(W)=\frac{\lambda}$，這就是第一次事件發生的平均時間。另外， $Var(W)=\frac{\lambda^2}$。
現在讓我們討論排隊理論。排隊的現象無所不在：買各種票、吃自助餐、超商、百貨公司……等。顧客揣度「應該排那一服務櫃檯會比較快？」「到底還要排多久？」是城市生活的基本問題；相對的，商家也要盤算到底在何時要開幾個視窗櫃檯才符合成本，探討這個問題的數學理論通稱為排隊理論，而指數分配經常被用到排隊理論，當作服務客人時間（這是一隨機變數）的機率密度函式。
讓我們假設某櫃檯，服務客人的平均時間為 μ，想像在服務結束後，櫃員會亮燈請下一位客人進來，則亮燈的平均時間是 μ。若將「燈亮」視為一事件發生，則亮燈的過程近似於一 Poisson 過程。而且前面定義的 W 正好表示兩次亮燈間的間隔。所以 W 的機率密度函式是指數分配：
\beginf_W(t)=\frac{\mu}e^{-\frac{\mu}t},\quad t>0 \end
例.
現假設一櫃檯平均服務時間為 3 分鐘，設等待時間的機率密度函式為
\beginf_W(t)=\frac e^{-\frac}, t>0 \end
(1)等候時間超過6分鐘的機率是多少？
\begin{eqnarray*} P(W>6)&=& \int_^{\infty}{\frac e^{-\frac}}dt = ... ...\frac}\big)\big\vert _6^b \\ &=& e^\; \approx \; 0.14 \end{eqnarray*}
事實上，等候超過 T 分鐘的機率是 $e^{-\frac}$。
(2) 另一個合理的問題是，如果在我前面還有另一個客人，則我怎麼描述，我等待時間的機率分配呢？
令 W1 是第一個客人等待的時間，W2 是第一個客人開始被服務後，我所等待的時間，則 $W_1 \;\sim\; W_2\; \sim \; W $，而且總等待時間 U = W1+W2，另外顯然 W1 與 W2 是互相獨立的。所以我們的問題就是要計算 fU(t)，由309頁例子的方法，可以計算得
\beginf_U(t) = \frac t e^{-\frac},\quad t>0 \end
或者，如果將指數分配 fW(t) 想成是 $\Gamma(1,\frac)$ 分配，則此相當於
\begin\Gamma(1,\frac)+\Gamma(1,\frac) \;\sim\; \Gamma(2,\frac)\qquad \end
因此如果我們想知道總等候時間不超過 5 分鐘的機率，則
\begin{eqnarray*} P(U\leq5)&=& \int_^{\frac t e^{-\frac}}dt ... ...0^5 + 3 \int_0^5 e^{-\frac} \; dt \right)\\ &\approx& 0.5 \end{eqnarray*}
有一半的機會。
(3) 如果前面有 n-1 個客人時，則可定義 $U=W_1+W_2+ \cdots + W_n $，其中 Wi 彼此獨立，由 Gamma 分配性質知 $U \sim \Gamma(n, \frac)$，即
\beginf_U(t)\; =\; \frac{3^n(n-1)!} t^e^{-\frac}, \quad t>0 \end
這告訴我們 $\Gamma(\alpha, \beta)$ 分配與排隊理論的關係。我們將細節留作習題。
習題：
(1) 超級市場一服務員平均服務時間為 2 分鐘，若用指數分配當作等候時間之機率分配，則機率密度函式是什麼？
(2) 如果他正開始服務一位客人，而你前面還有一位客人在等候，則你會等超過 6 分鐘的機率是多少？
(3) 若服務員甲平均服務時間為 2 分鐘，而服務員乙之平均服務時間為 3 分鐘，如果你選擇乙，你朋友選擇甲，且一起開始接受服務，則你會比朋友快的機率是多少？（當然甲與乙的服務是相互獨立的）你能給出一個一般的計算公式嗎？
