簡介
能夠被正方分割的正方形稱作完美的正方形，也作完美正方形
能夠被正方分割的矩形稱作完美矩形
因為i完美正方形實在很難找，所以有一段時間甚至都認為不存在完美正方形，下面的內容里有詳細的
正方分割
（1）
：塔特、斯通、布魯克斯和史密斯，同時對正方分割問題發生了興趣。
儘管四名學生研究的課題是一致的，但他們考慮的側重點不同。
斯通想要證明不能對正方形進行正方分割，然而，她沒能證明這一點，卻在探索中找到了另一個可以正方分割的矩形。即176x177。
塔特等人則致力於研究正方形分割的理論，但他們都沒有找到一個正方形如他們所願。
大家都開始傾向於斯通的看法。
但1939年，柏林的R·施帕拉格卻實實在在地找到另一個能夠正方分割的正方形。他們的研究成果被成功地運用到電子、化學、建築學、通訊科學等領域。成為造福分類的有力工具。
（2）
正方分割十世紀三十年代，一個長方形的完美的正方分割（如圖1，圖中數字表示所在正方形的邊長，下同），已成為熟知的事實。到了本世紀四十年代，人們又發現了另一個同樣有名的長方形的正方分割，如圖2。它們都是由九個規格不同的正方形所組成，為方便起見，我們稱它們為九階的。
圖1 圖2
現已證明：低於九階的長方形的正方分割不存在，並且，在九階的長方形的正方分割中，只有這兩種形式。因而圖1、圖2是兩個最完美的長方形的正方分割。
數學家們在當時是怎樣想出上面這些分割的方法呢？他們也與我們遇到一個新問題時一樣，總是通過不斷地嘗試，細緻地分析，反覆地構思，孜孜以求，鍥而不捨，才達到成功的。比如，在國中的基礎上，擬出一個圖形，如圖3，設它是一個長方形的正方分割。為便於分析，我們引進三個未知數，設其中的三個小正方形的邊長分別為x、y、z。由此順次推出其他正方形的邊長為x+y,2x+y,y-z,y-2z,y-3z,2y-5z
圖3 圖4
因為圖3是一個長方形，那么它的對邊就應該相等，此時，x,y,z應滿足下面的關係：
將這個方程組整理得
也就是
若取Z=1，就有x=4,y=10。將它代入圖3就得到圖1的長為33、寬為32，且階數為九的長方形的正方分割。
那么，正方形的正方分割是否存在呢？最初，眾說紛紜，莫衷一是。直到本世紀三十年代末，德國的一位數學家發現了正方形的一種正方分割後，才算有了定論。 後來，人們的目光又投向了一個新的目標，尋求正方形的一種階數最低的正方分割。
在這一征途上的攀登是艱難的。到了七十年代，數學家才在計算機的幫助下，圓滿地解決了這一問題。現已證明，4給出的21階的正方分割是階數最低的一種分割，因而，圖4是最完美的正方形的正方分割。
