正交向量

正交向量

“正交向量”是一個數學術語,指點積為零的兩個或多個向量。幾何向量的概念線上性代數中經由抽象化,得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素,要注意這些抽象意義上的向量不一定以數對表示,大小和方向的概念亦不一定適用。在三維向量空間中, 兩個向量的內積如果是零, 那么就說這兩個向量是正交的。正交最早出現於三維空間中的向量分析。 換句話說, 兩個向量正交意味著它們是相互垂直的。若向量α與β正交,則記為α⊥β。

定義

向量

在數學中,向量(也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量),指既有大小又有方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。

箭頭所指:代表向量的方向;

線段長度:代表向量的大小。

與向量對應的只有大小,沒有方向的量叫做數量(物理學中稱標量)。

正交向量 正交向量

向量的記法:印刷體記作粗體的字母(如 abuv),或者 (即從起點A出發指向終點B的向量)。在空間直角坐標系中,也能把向量以數對形式表示,例如Oxy平面中用(2,3)表示向量。

在物理學和 工程學 ,幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量,比如一個物體的位移,球撞向牆而對其施加的力等等。與之相對的是標量,即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯繫,例如向量勢對應於物理中的勢能。

歐幾里得空間

正交向量 正交向量
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設 是實數域R上的有限維線性空間,在 上定義有被稱為內積的滿足一下四條公理的實函式 , :

正交向量 正交向量
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(1)對稱性: , =( , );

正交向量 正交向量
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(2)關於向量加法的線性性質: , , , ;

正交向量 正交向量
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(3)關於標量乘法的線性性質: , , ;

正交向量 正交向量
正交向量 正交向量
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(4)正定性: , ,而且等號成立若且唯若 。

正交向量 正交向量
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這裡 , , 是 的任意向量,k是任意實數。則稱 為 歐幾里得空間(Euclidean space),簡稱 歐式空間

正交向量 正交向量
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歐幾里得空間中兩個非零向量 , 的夾角< , >定義為< , >= ,因而 。所以向量的內積為 。

正交

正交向量 正交向量
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正交向量 正交向量
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如果 =0,則稱向量 與 正交(orthogonal),也稱 垂直(perpendicular),記為。

性質

性質1

對兩個向量x和y有內積性質(x,ky)=k(x,y)。

性質2

正交向量 正交向量
正交向量 正交向量

設為n單位正交向量組,則有。

定理

定理1

正交向量 正交向量
正交向量 正交向量
正交向量 正交向量

對於歐式空間的任一基都可以找到一個標準正交基。即 任一非零歐式空間都有正交基和標準正交基。

定理2

正交向量 正交向量
正交向量 正交向量

(勾股定理)如果,則有。

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