正交向量

“正交向量”是一個數學術語，指點積為零的兩個或多個向量。幾何向量的概念線上性代數中經由抽象化，得到更一般的向量概念。此處向量定義為向量空間的元素，要注意這些抽象意義上的向量不一定以數對表示，大小和方向的概念亦不一定適用。在三維向量空間中， 兩個向量的內積如果是零， 那么就說這兩個向量是正交的。正交最早出現於三維空間中的向量分析。 換句話說， 兩個向量正交意味著它們是相互垂直的。若向量α與β正交，則記為α⊥β。

定義

向量

在數學中，向量（也稱為歐幾里得向量、幾何向量、矢量），指既有大小又有方向的量。它可以形象化地表示為帶箭頭的線段。

箭頭所指：代表向量的方向；

線段長度：代表向量的大小。

與向量對應的只有大小，沒有方向的量叫做數量（物理學中稱標量）。

正交向量

向量的記法：印刷體記作粗體的字母（如 a、 b、 u、 v），或者 （即從起點A出發指向終點B的向量）。在空間直角坐標系中，也能把向量以數對形式表示，例如Oxy平面中用(2,3)表示向量。

在物理學和 工程學 中，幾何向量更常被稱為矢量。許多物理量都是矢量，比如一個物體的位移，球撞向牆而對其施加的力等等。與之相對的是標量，即只有大小而沒有方向的量。一些與向量有關的定義亦與物理概念有密切的聯繫，例如向量勢對應於物理中的勢能。

歐幾里得空間

正交向量

正交向量

正交向量

正交向量

正交向量

設 是實數域R上的有限維線性空間，在 上定義有被稱為內積的滿足一下四條公理的實函式 ， ：

正交向量

正交向量

正交向量

正交向量

（1）對稱性： ， =（ ， ）；

正交向量

正交向量

正交向量

正交向量

（2）關於向量加法的線性性質： ， ， ， ；

正交向量

正交向量

正交向量

（3）關於標量乘法的線性性質： ， ， ；

正交向量

正交向量

正交向量

正交向量

（4）正定性： ， ，而且等號成立若且唯若 。

正交向量

正交向量

正交向量

正交向量

正交向量

這裡 ， ， 是 的任意向量，k是任意實數。則稱 為 歐幾里得空間（Euclidean space），簡稱 歐式空間。

正交向量

正交向量

正交向量

正交向量

正交向量

正交向量

正交向量

正交向量

正交向量

歐幾里得空間中兩個非零向量 ， 的夾角< ， >定義為< ， >= ，因而 。所以向量的內積為 。

正交

正交向量

正交向量

正交向量

正交向量

如果 =0，則稱向量 與 正交(orthogonal)，也稱 垂直(perpendicular)，記為。

性質

性質1

對兩個向量x和y有內積性質(x,ky)=k(x,y)。

性質2

正交向量

正交向量

設為n單位正交向量組，則有。

定理

定理1

正交向量

正交向量

正交向量

對於歐式空間的任一基都可以找到一個標準正交基。即 任一非零歐式空間都有正交基和標準正交基。

定理2

正交向量

正交向量

（勾股定理）如果，則有。