正交[數學名詞]

正交是線性代數的概念，是垂直這一直觀概念的推廣。作為一個形容詞，只有在一個確定的內積空間中才有意義。若內積空間中兩向量的內積為0，則稱它們是正交的。如果能夠定義向量間的夾角，則正交可以直觀的理解為垂直。物理中：運動的獨立性，也可以用正交來解釋。

正交的含義

對於一般的希爾伯特空間， 也有內積的概念， 所以人們也可以按照上面的方式定義正交的概念。 特別的， 我們有n維歐氏空間中的正交概念， 這是最直接的推廣。

和正交有關的數學概念非常多， 比如正交矩陣、正交補空間、施密特正交化法、最小二乘法等等。

另外在此補充 正交函式系的定義：在三角函式系中任何不同的兩個函式的乘積在區間[-π,π]上的積分等於0，則稱這樣的三角函式組成的體系叫正交函式系。

各種正交概念

正交子空間

若內積空間中兩向量的內積為0，則它們 正交。類似地，若內積空間中的向量 v與子空間 A中的每個向量都正交，那么這個向量和子空間 A正交。若內積空間的子空間 A和 B滿足一者中的每個向量都與另一者正交，那么它們互為正交子空間。

正交變換

正交[數學名詞]

正交變換是保持內積的線性變換。即是說，對兩個向量，它們的內積等於它們在函式T下的內積：

正交[數學名詞]

這也就是說，正交變換保持向量的長度不變，也保持兩個向量之間的角度不變。

歐幾里得空間的例子

在二維或三維的歐幾里得空間中，兩個向量正交若且唯若他們的點積為零，即它們成90°角。可以看出正交的概念正是在此基礎上推廣而來的。三維空間中，一條直線的正交子空間是一個平面，反之亦然。四維空間中，一條直線的正交子空間則是一個超平面。

正交函式集

對於兩個函式f和g，可以定義如下的內積：

正交[數學名詞]

正交[數學名詞]

這裡引進一個非負的權函式。這個內積叫做帶權{\displaystyle w(x)}的內積。

正交[數學名詞]

兩個函式 帶權{\displaystyle w(x)}正交，是指它們帶權的內積為零。

正交[數學名詞]

由此可以類似定義帶權{\displaystyle w(x)}的模。

正交[數學名詞]

一個函式列{f:i= 1, 2, 3, ... }如果滿足：

正交[數學名詞]

其中

正交[數學名詞]

為克羅內克函式， 那么{f}就稱為 帶權{\displaystyle w(x)}的正交函式族。

進一步地，如果{f}滿足：

正交[數學名詞]

正交[數學名詞]

就稱{f}為 帶權 的標準正交函式族。

參見正交多項式。

參看

•正交化

•Gram-Schmidt正交化

•正交分解

•正交矩陣

•正交基

•垂直