歐拉線推論

令HΩ和J1H1的交點為K，∵BΩ=CΩ，BI1=CI1，∴ΩI1⊥BC，又∵AH1⊥BC，∴ΩI1∥AH1。 ∵∠GΩI1=∠AGH，∠GAH=∠GI1Ω，∴△AGH∽△GΩI1。 ∵∠ΩKI1=∠J1KH，∠KJ1H=∠KI1H，J1H=ΩI1，∴△ΩKI1≌△HKJ1。

關於歐拉線的介紹詳見：歐拉線；相關證明參考：歐拉線證明；下面是關於歐拉線的推論
九點圓的圓心也在歐拉線上
如圖，H、G、O分別是△ABC的垂心、重心、外心，三角形的三邊中點Ii，三高的垂足Hi，和頂點到垂心的三條線段的中點Ji
令HΩ和J1H1的交點為K，∵BΩ=CΩ，BI1=CI1，∴ΩI1⊥BC，又∵AH1⊥BC，∴ΩI1∥AH1。
∵∠GΩI1=∠AGH，∠GAH=∠GI1Ω，∴△AGH∽△GΩI1。∵AG=2GI1，∴AH=2ΩI1，即ΩI1=J1H。
∵∠ΩKI1=∠J1KH，∠KJ1H=∠KI1H，J1H=ΩI1，∴△ΩKI1≌△HKJ1。∴J1K=KI1。
故K為九點圓圓心。∵點K在HO上，九點圓圓心在歐拉線上