定義
四元數
歐拉旋轉定理根據歐拉旋轉定理，歐拉旋轉定理Euler's rotation theorem中任何兩個坐標系的相對定向，可以由一組四個數字來設定；其中三個數字是方向餘弦，用來設定特徵矢量（固定軸）；第四個數字是繞著固定軸旋轉的角值。這樣四個數字的一組稱為四元數。
如上所描述的四元數，並不介入複數。如果四元數被用來描述二個連續的旋轉，則必須使用由威廉·哈密頓提出的非交換四元數代數以複數來計算。
數學術語
用數學術語，在三維空間內，任何共原點的兩個坐標系之間的關係，是一個繞著包含原點的固定軸的旋轉。這也意味著，兩個旋轉矩陣的乘積還是旋轉矩陣。一個不是單位矩陣的旋轉矩陣必有一個實值的本徵值，而這本徵值是 1 。 對應於這本徵值的本徵矢量就是旋轉所環繞的固定軸。
套用
旋轉生成元
假設單位矢量(x,y,z)是旋轉的瞬時固定軸，繞著這固定軸，旋轉微小角值△θ，則取至△θ的一次方。
繞著固定軸做一個 角值的旋轉，可以被視為許多繞著同樣固定軸的接連不斷的微小旋轉，每一個小旋轉的角值為△θ=θ/N 。讓N趨向無窮大，則繞著固定軸θ角值的旋轉。
歐拉旋轉定理基要地闡明，所有的旋轉都能以這形式來表達。乘積Aθ是這個旋轉的生成元。用生成元來分析，而不用整個旋轉矩陣，通常是較簡易的方法。用生成元來分析的學術領域，稱為旋轉群的李代數。
四元數
根據歐拉旋轉定理，任何兩個坐標系的相對定向，可以由一組四個數字來設定；其中三個數字是方向餘弦，用來設定特徵矢量（固定軸）；第四個數字是繞著固定軸旋轉的角值。這樣四個數字的一組稱為四元數。
如上所描述的四元數，並不介入複數。如果四元數被用來描述二個連續的旋轉，則必須使用由威廉·哈密頓提出的非交換四元數代數以複數來計算。
在航空學套用方面，通過四元數方法來計算旋轉，已經替代了方向餘弦方法，這是因為它能減少所需的工作，和它能減小捨入誤差。在 電腦圖形學 里，四元數與四元數之間，簡易執行插值的能力是很有價值的。
證明
歐拉旋轉定理設xoy是原來的坐標系，x'oy'是坐標系旋轉n（弧度）角後的新坐標系（逆時針旋轉時n為正角）。試點m在坐標系xoy中的坐標為(x,y)，在坐標系x'oy'中的坐標為(x',y').
作ms,mp分別垂直於x軸,x'軸，s,p為垂足，連線om,則
x'=om*cos(pom),y'=om*sin(pom)
x=omcos(n+pom)=x'*cos(n)-y'*sin(n)
y=om*sin(n+pom)=x'*sin(n)+y'*cos(n)
這就是用新坐標表示原坐標。
x'=x*cos(n)+y*sin(n)
y'=-x*sin(n)+y*cos(n)
這就是用原坐標表示新坐標。
由旋轉公式可得：
一條直線y=kx+b繞原點順（逆）時針旋轉n弧度可看成坐標軸逆時針旋轉n(-n)弧度
x'*sin(n)+y'*cos(n)=k[x'*cos(n)-y'*sin(n)]+b經整理得：
y'[cos(n)+k*sin(n)]=x'[k*cos(n)-sin(n)]+b
把直線y=-2x+2繞原點逆時針旋轉90度所得的直線的解析式是y=0.5x+1
