一、flick matrix 的定義與性質
1、定義0 0 … 0 1
0 0 … 1 0
記Q為〔 … … … … … 〕，則稱Q 為flick matrix 又稱翻跟頭矩陣
0 1 … 0 0
1 0 … 0 0
性質1 Ⅰ) Q^2 = E; Ⅱ) Q′= Q ; Ⅲ) | Q| = ( - 1)^[n(n-1)/2]
性質2 Q 的偶次冪為單位矩陣, Q 的奇次冪為它本身.
證明 Q^(2k) = ( Q^2)^k = E^k = E; Q^(2k+1) = Q^(2k)·Q = E·Q = Q.
性質3 設A = ( aij ) n ×n ,那么
Ⅰ) 若QA = B ;則bij = an - i + 1 , j ; Ⅱ) 若AQ = C;則cij = ai , n - j + 1
二、次初等矩陣的定義與性質
1、定義定義： 由Q 經過一次初等變換得到的矩陣稱為次初等矩陣。
I、將Q 中的i , j 兩行(列)交換而得到Q ( i , j)
Ⅱ、將Q 的第i 行(列)乘上非零常數k 而得到Q ( i ( k) )
Ⅲ、將Q 的第i 行(列)加上第j 行(列)的k 倍而得到Q ( i , j ( k) )
次初等矩陣都是方陣,且具有下面性質
性質1 Ⅰ) E( i , j) Q ( i , j) = Q ; Ⅱ) E ( i ( k) ) Q ( i ( k) ) = Q ( i ( k2 ) ) , Ⅲ) E ( i , j ( k) ) Q ( i , j ( k) ) = Q ( i , ( n - j + 1)(2 k) )
性質2 Ⅰ) Q ( i , j) = E( i , j) Q = QE ( i , n - j + 1) ; Ⅱ) Q ( i ( k) ) = E ( i ( k) ) Q = QE ( i ( k) ) ; Ⅲ) Q ( i , j ( k) ) = E ( i , j( k) ) Q = QE( i , n - j + 1)
性質3 設A 是m ×n 矩陣,則Q ( i , j) A 相當於交換QA 的i , j 兩行. AQ ( i , j) 相當於交換AQ 的i , n - j + 1 兩列. Q ( i( k) ) A 相當於QA 的第i 行乘以非零常數k . AQ ( i ( k) ) 相當於QA 的第i 列乘以非零常數k. Q ( i , j ( k) ) A 相當於把QA 的i行加上j 行的k 倍. AQ ( i , j ( k) ) 相當於把AQ 的n - j + 1 列加上i 列的k 倍
定理1 次初等矩陣都可逆,且有
Ⅰ) Q ( i , j) - 1 = Q ( i , n - j + 1) ; Ⅱ) Q ( i ( k) ) - 1 = Q ( i ( 1k) ) ; Ⅲ) Q ( i , j ( k) ) - 1 = Q ( i , ( n - j + 1) ( - k) )
證明 由定義及性質2 知
Ⅰ) Q ( i , j) ·Q ( i , n - j + 1) = E( i , j) Q·QE( i , j) = E( i , j) E·E ( i , j) = E ( i , j) E ( i , j) = E ,所以Q ( i , j) 可逆, Q ( i ,j) - 1 = Q ( i , n - j + 1)
Ⅱ) Q ( i ( k) ) Q ( i ( 1k) ) = E( i ( k) Q·QE ( i ( 1k) ) = E ( i ( k) ·E ( i ( 1k) ) = E , 所以Q ( i ( k) ) 可逆且Q ( i ( k) ) = Q ( i( 1k) )
Ⅲ) Q ( i , j ( k) ) ·Q ( i , ( n - j + 1) ( - k) ) = E ( i , j ( k) ) Q·QE( i , j ( - k) = E ( i , j ( k) ) ·E ( i , j ( - k) ) = E ,所以Q ( i , j( k) ) 可逆且Q ( i , j ( k) ) - 1 = Q ( i , ( n - j + 1) ( - k) )
定理2 次初等矩陣的轉置矩陣也是次初等矩陣.
證明 Q ( i , j)′= Q ( i , n - j + 1) ; Q ( i ( k) )′= Q ( ( n - i + 1) ( k) ) Q ( i , j ( k) ) ,為把Q 的第j 列乘上k 倍加到第i 行上得到的初等矩陣. 所以轉置都為次初等矩陣
