定義
單變數情形
如果 X是在非負整數域{0，1， ...}上取值的離散隨機變數，那么 X的機率母函式定義為 ：
機率母函式其中 p是 X的機率質量函式。
多變數情形
如果 X= ( X，...， X )是在 d-非負整數格{0，1， ...}上取值的離散隨機變數， 那么 X的機率母函式定義為：
機率母函式其中 p是 X的機率質量函式。
性質
冪級數
機率母函式
機率母函式機率母函式服從冪級數的所有非負係數的規則。特別地， ，其中 ，因為機率必須總和為1。所以任何機率母函式的收斂半徑必須至少為1，通過具有非負係數的冪級數的Abel定理來證明。
機率和期望
以下性質是與 X有關的各種基本量的推導：
1、X的機率質量函式通過取G的導數來恢復，
機率母函式2、機率密度函式的歸一化可以用母函式來表示：
機率母函式該預期的 X由下式給出：
機率母函式所以， X的方差由下式給出 ：
機率母函式獨立隨機變數的函式
機率母函式對於處理獨立隨機變數的函式特別有用。例如：
機率母函式如果 X， X，...， X是一系列獨立的（不一定是相同分布的）隨機變數，並且 其中a是常數，則機率母函式由下式給出：
機率母函式例如，如果
機率母函式那么，機率母函式 G（ z）由下式給出：
機率母函式也就是說，兩個獨立隨機變數 S= X- X的差的機率母函式是 ：
機率母函式示例
機率母函式1.一個常數隨機變數（即 ）的機率母函式是：
機率母函式2.一個的機率母函式二項式隨機變數，在成功的次數 Ñ試驗中，機率 p是每次試驗成功的機率，機率母函式是：
機率母函式注意，這是具有參數 p的伯努利隨機變數的機率母函式的 n倍乘積。
機率母函式所以，擲硬幣時間的機率母函式是：
3.一個機率母函式的負二項隨機變數在{0，1，2 ...}中，每次試驗的成功機率 p，機率母函式是 ：
機率母函式相關概念
機率母函式是一個的例子母函式的序列組成：也見形式冪級數。這與機率質量函式的z變換等效，有時稱為z變換。
其他隨機變數的母函式包括矩母函式、特徵函式和累積量母函式。
