簡介
定義
設A是實數集R上的模糊集, 即A∈F(R)。如果A是正規的(即存在x∈R有A(x)=1)，且對任意λ∈(0,1]。Aλ是閉區間， 則稱A是一個模糊數。若模糊數A的支集suppA有界，則稱A為有界模糊數。
區間數是模糊數的特例。
定理
設A∈F(R). 則A為模糊數若且唯若存在實數a≤b使得
(1) 在[a, b]上A(x) ≡1;
(2) 在(-∞, a)上A(x)為右連續的增函式且0≤A(x)<1, A(x) →0 (x→∞)；
(3) 在(b, ∞)上A(x)為左連續的減函式且0≤A(x)<1, A(x) →0 (x→∞)。
模糊數一般可以分為三角模糊數和梯形模糊數，現在的研究容許有非正規 (Non-normal) 模糊數的存在，此類的模糊數又可稱為一般性模糊數(Generalized Fuzzy Numbers)。
模糊數是普通實數的推廣, 自然希望利用實數的加、減、乘、除來定義模糊數的相應運算。
模糊數的運算就根據此進行定義, 其本質就是擴張加法、擴張減法、擴張乘法、擴張除法。定義如下
設A, B為模糊數, 則定義其加、減、乘、除運算如下：
(A+B)(z)=∨x+y=z(A(x)∧B(y))，
(A-B)(z)=∨x-y=z(A(x)∧B(y))，
(A×B)(z)=∨x×y=z(A(x)∧B(y))，
(A÷B)(z)=∨x¸y=z(A(x)∧B(y)。
詳細釋義
"模糊數"在工具書中的解釋
利用凸模糊集可以定義模糊數。模糊數的討論是在區間數的基礎上,所謂區間數就是把一個閉區間[a,b]作為一個數來處理,從而形成計算數學的一個新的分支——區間分析。
在YagerandFilev所提出的模糊數權重思想之上，針對模糊數的排序，提出了一種新的排序的方法，這種方法的提出很好的解決了以前存在的問題。在論文中，分析了公式要處理的六種情況，並且，推導出了運用公式處理這六種情況所產生的結果，這樣以來，就可以在處理排序問題的時候直接運用公式推導出的結果進行討論，簡化了以往討論的複雜性。進一步用圖象來分析公式的幾何意義，運用matlab給出了形變因子對模糊數的影響的圖像，經過圖像分析之後，我們在形變因子對隸屬度函式影響的方面有個很清晰的認識。最後針對滿意度公式，提出具有代表性的數值例子進行說明。
在不同的形變因子影響之下，得到排序的結果也不相同。公式的提出很好的處理了結果的單一性，可以根據對結果所產生的圖像進行分析，得出需要的結果。
區間數
定義
實數集R的子集
{x∈R|a1≤x≤a2，a1，a2∈R}
稱為區間數, 記為[a1, a2]。
所有區間數記為I(R)。
通常用大寫字母表示區間數, 比如A=[a1, a2]。
區間數的“相等”定義為:
A=[a1， a2]，B=[b1， b2]。A=B↔a1=b1且a2=b2
基本運算
定義
已知區間數A=[a1, a2], B=[b1, b2]. 定義其加、減、乘、除(除法要求除子區間數不含0)：
(1) A+B=[a1+b1, a2+b2].
(2) A -B=[a1-b2, a2-b1].
(3) A×B=[a1b1∧a1b2∧a2b1∧a2b2，a1b1∧a1b2∧a2b1∧a2b2]。
(4) A÷B=[(a1÷b1)∧(a1÷b2)∧(a2÷b1)∧(a2 ÷b2)，(a1÷b1)÷(a1÷b2)∧(a2÷b1)∧(a2÷b2 )]。0∉[a,b]。
注意點
(1) 區間數的加法與減法並非互為逆運算。
(2) 區間數的乘法與除法並非互為逆運算。
(3) 區間數的加法與乘法都滿足交換律， 結合律。
(4) 區間數乘法對於加法的分配律不成立。
模糊測度
所謂積分，無論是黎曼積分還是勒貝格積分都不外乎是被積函式和測度函式的一種內積，不同的只是以不同的測度為基礎。因此研究模糊積分要從研究模糊測度開始。常見的有測度、2-可加模糊測度、可能性測度、必要性測度等。
首先，回顧一下機率測度的概念。機率的統計定義雖然直觀, 但在數學上很不嚴密， 比如會產生機率悖論等問題。公理化機率論是以測度論為基礎的， 當把隨機試驗的每一種可能結果歸結為抽象空間中的點時，樣本點所組成的集合就是隨機事件，而事件發生的機率不過是度量這些集合大小的一種特定的測度，這就是機率測度。
模糊測度有多種解釋， M. Sugeno對模糊測度做了這樣的解釋：設有某個元素x∈X， 我們猜想x可能屬於A的某個元素A (即A∈A, 且x∈A). 這種猜想是不確定的，是模糊的， g就是這種不確定性(模糊性) 的一個度量。
一個確定的點對於 一個模糊集合的隸屬程度, 是經典集合論中點對集合屬於關係的一種推廣。模糊測度是普通屬於關係的另一種推廣, 即一個尚未確定的點 (信息不充分條件下) 對於經典集合的屬於關係。
